우수 답변
A2A.
tan40 °의 값은 표준 삼각 합을 사용하여 찾을 수 없습니다. 차이 또는 서브 다중 각도 공식. 그러나 3 차 방정식을 푸는 데 익숙하다면이 방법이 유용 할 수 있습니다.
알고 있습니다.
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
이 방정식에서 x를 40 °로 대체 —
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
tan40 °를 y로 쓰기 —
-\ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 °는 표준 값이며-\ sqrt {3})와 같습니다.
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
이 방정식을 풀면 양수 값이 tan 40 °가되는 세 가지 값이 얻어집니다.
따라서 대략, tan 40 ° = 0.8394.
답변
\ tan 40 ^ o의 값은 얼마입니까?
\ tan 40 ^ o의 값을 찾을 수 있습니다. \ tan x의 Taylor 급수를 사용하여 원하는 정확도 수준으로 조정합니다.
실수 또는 복소수 점 a에서 무한하게 미분 할 수있는 실수 또는 복소수 값 함수 f (x)의 Taylor 급수는 다음과 같습니다. ,
f (x) = f (a) + \ frac {f “(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” “(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f “” “(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
이것은 f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad 여기서 f ^ {(n)} (a)는 x = a에서 f (x)의 n ^ {th} 도함수를 나타냅니다.
삼각 함수의 경우 각도는 도가 아닌 라디안으로 표시되어야합니다.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ 오른쪽) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4}-\ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
x = \ frac {2 \ pi} {9} 및 a = \ frac {\ pi} {4}를 사용하면 (xa) =-\ frac {\ pi} {36}가 있습니다.
a = \ frac {\ pi} {4}에서 \ tan x는 무한히 미분 할 수 있습니다.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f “(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f”(a) = f “\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” “(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “”(a) = f “”\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f “” “(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” “(a) = f” “”\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a 약 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ 약 0.83892575.
\ tan (40 ^ o) 엑셀에서 제시 한 바와 같이 0.83909963입니다.
이 무한 급수의 단 4 항으로도 오차는 0.0272 \ \%에 불과하다는 것을 알 수 있습니다.
더 큰 정확도가 무한 시리즈에 대한 추가 용어를 취할 수 있어야합니다.