최상의 답변
tan theta = -2를 어떻게 해결합니까?
음,이를 위해 arctan 함수를 사용하여 시작합니다.이 함수는 tangent 함수를 사용하고 \ tan (\ theta) = -2가되는 \ theta 값을 찾습니다.
값을 계산할 수 있지만 이것은 복합 허수 를 포함하는 절차. 이것은 많은 문제처럼 보이므로 약간 덜 정확하더라도 테이블 집합을 사용하는 것이 더 쉬울 것입니다. 부모님의 다락방에 오래된 세트가 있지만 지금은 쓸모가 없으니 인터넷에서 테이블을 검색해 보겠습니다. 잠깐, 내가 인터넷에 접속할 수 있다면 인터넷이 나를 대신해 계산할 수 있는지 확인하지 않으시겠습니까?
음, 이러한 근사값은 우리가 필요로하는 것보다 더 정확할 수 있지만 지금은 그대로 유지하겠습니다.
음각의 개념이 마음에 들지 않습니까? 걱정하지 마세요. 2π 라디안 / 360 °를 추가하여 양의 각도로 쉽게 변환 할 수 있습니다.
따라서 우리는 5.17603659 라디안 /296.5650512°를 가지고 있습니다.
하지만 아직 끝나지 않았습니다. !
arctan 함수는 배타적 범위 (-0.5 \ pi, 0.5 \ pi)의 각도 만 반환합니다. 즉, (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). 그렇다면 탄젠트 값이 -2 인 다른 각도가 있습니까?
먼저, tangent 함수는 각도가 2 사분면과 4 사분면에있을 때, 즉 각도가 배타적 범위 (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) 및 (270 ^에있을 때 음의 값을 제공합니다. {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). 우리는 이미 4 사분면의 해를 가지고 있는데, 2 사분면의 해는 무엇입니까? 동쪽입니다. 4 사분면의 해에서 π 라디안 / 180 ° 만 취하면됩니다.
왜? 음, 탄젠트 함수에 대한 복각 공식에서 다음과 같이됩니다.
\ tan (\ theta-\ pi) = \ frac {\ tan (\ theta)-\ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta)-as \ tan (\ pi) = 0
두 번째 솔루션 인 2.03444393 라디안 / 116.5650512 °
둘째, 탄젠트 함수는 주기적입니다. 2π 라디안 / 360 °의주기; 즉, 각도에 2π 라디안 / 360 °의 배수를 추가하면 동일한 탄젠트 값이 반환됩니다.
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1-\ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta)-as \ tan (2 \ pi) = 0
따라서 k를 사용하여 정수를 나타내면 전체 솔루션 집합은 다음과 같습니다.
(2.03444393 + k \ pi) \ 라디안 또는 (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
답변
sec (theta) = 1 / (cos (theta). 그러면
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, 이것은 cos (theta)의 2 차 방정식입니다.이 방정식의 두 근은 실제로 1 +-phi 인 (3 +-sqrt (5)) / 2입니다. 여기서 phi는 유명한 “Golden Ratio”이며 2 차 x ^ 2-x-1의 근입니다.
phi는 근이므로이 방정식을 phi ^ 2로 나누면 다른 근은 다음과 같습니다. -1 / phi. 그리고 phi + 1 = phi ^ 2이므로 원래 방정식의 근은 phi ^ 2 및 1 / phi ^ 2입니다. 코사인은 1이어야하므로 더 작은 근을 사용해야합니다. .
이제 (n + 1) 번째 항이 n 번째 항과 (n -1) 번째 항의 합인 고대 피보나치 수열 0, 1,1, 2, 3, 5, 8을 고려하십시오. phi와 그것의 공액 근은이 시리즈와 밀접한 관련이 있다는 것이 밝혀졌습니다. 이것이 여기에 적용되는 방식은 다음과 같습니다 :
n 번째 피보나치 항이 F (n)이면 phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (증명은 마지막 단계에서 피보나치 정의 F (n + 1) = F (n) + F (n-1)을 사용하여 n에 대한 유도입니다.) phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. 6 번째와 7 번째 F는 5와 8입니다. 따라서 여러분은 다음을 평가했습니다.
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1-sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1-sqrt (5)) / 2). 이것을 곱하고 두 번째 항을 합리화하면 9-4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18이됩니다.
QED