우수 답변
단순…. 🙂
우리는 이것을 직접적인 결과로 자주 사용합니다.
답변
안타깝게도 Taylor 시리즈 나 l Hopital 규칙 기반 답변은 순환 인수를 도입하기 때문에 엄격한 증명 :이 두 방법 모두 문제의 한계가 무엇인지 알아야하는 계산을 위해 함수 f (x) = \ sin (x)의 미분 계산이 필요합니다. 즉, A를 검색하는 동안 B를 소개하지만 B를 찾으려면 A가 무엇인지 알아야합니다.
“에서 허용 할 수있을만큼 충분히 엄격한 증명을 구성하는 것은 그리 어렵지 않습니다. 수학적 분석”과정. 여기에 하나의 버전이 있습니다. 아래 그림에서 \ triangle AOC는 원형 섹터 OApC 내에 포함 된 이등변 삼각형이며, 차례로 직각 삼각형 OAB 내에 포함됩니다. 선분 AB는 광선 OA에 수직입니다.
유클리드의 “요소”제 3 권 발의안 16에서 다음과 같이합니다. 위 개체의 정사각형 영역은 다음과 같이 크기별로 정렬됩니다.
A \_ {\ triangle OAC} \_ {OApC} \_ {\ triangle OAB}
Euclid는 (기본적으로) 새로운 직선이 AB와 p 사이에 위치하는 방식으로 AB와 점 A에서 원 q의 원주 사이에 또 다른 직선을 짜는 것이 불가능 함을 증명합니다. 반대로 이는 모든 직선을 의미합니다. 직각 OAB를 자르는 것은 반드시 원 안에 들어가야합니다-선 시그먼트 AC가 위에서하는 것처럼. 다음으로 삼각형과 원형 섹터의 영역에 대한 공식을 사용하고 각도 AOC가 라디안으로 측정된다는 사실을 사용하여 :
\ frac {OA \ times CH} {2} frac {\ alpha\_n \ times r ^ 2} {2} frac {OA \ times AB} {2}
r ^ 2 \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n \ times r ^ 2 ^ 2 \ times \ tan (\ alpha\_n)
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n tan (\ alpha\_n)
가장 왼쪽 부등식 관찰 :
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n
사용할 것입니다. 나중에. 다음으로 0 alpha\_n frac {\ pi} {2}를 취하면 마지막 이중 부등식을 \ sin (\ alpha\_n)으로 나눌 권리가 있습니다.
1 frac {\ alpha\_n} {\ sin (\ alpha\_n)} frac {1} {\ cos (\ alpha\_n)}
\ cos (x)는 짝수 함수이고 f (x) = x와 \ sin (x)는 모두 홀수이고 위의 부등식의 역수 값은 다음과 같습니다.
1> \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n}> \ cos (\ alpha\_n)
위에 -1을 곱하고 부등식 부호를 뒤집습니다.
-1 \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} \ cos (\ alpha\_n)
위에 1 더하기 :
0 -\ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -\ cos (\ alpha\_n)
하지만 :
1-\ cos (\ alpha\_n) = 2 \ sin ^ 2 (\ frac {\ alpha\_n} {2}) \ sin (\ frac {\ alpha\_n } {2}) \ frac {\ alpha\_n} {2} = \ alpha\_n
우리가 앞서 증명 한 “가장 왼쪽”불평등 때문입니다 (위 참조). 이제 :
1-\ cos (\ alpha\_n) alpha\_n
즉 :
0 -\ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} alpha\_n
앞에서 0 alpha\_n frac {\ pi} {2}라고 가정 했으므로 위의 부등식에서 절대 값을 사용할 수 있습니다.
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n |
\ epsilon, \ delta 한계 정의를 준수합니다. \ epsilon> 0에 대해 \ delta = min (\ epsilon, \ frac {\ pi} {2})을 선택합니다. :
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n | = | \ alpha\_n-0 | delta
이제“연속적인”변이가 아니라 불연속적인 시퀀스를 연구한다면 \ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n}을 설정하고 다음을 갖습니다.
\ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} delta \ leq \ epsilon
출처 :
n> \ frac {\ pi} {2 \ 엡실론}
그리고 마지막으로 :
\ forall \ epsilon> 0 \ quad \ exists N = \ frac {\ pi} {2 \ epsilon} \ quad : \ quad \ forall n > N \ quad | \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n}-1 | epsilon
두 경우 모두 다음을 의미합니다.
\ lim\_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1
이 추론의 추가 보너스로 우리는 다음을 자동으로 증명했습니다.
\ lim\_ {x \ to 0} \ cos (x) = 1
그리고 이전에 추론 된 부등식 \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n 곧 | \ alpha\_n-0 | 델타 우리는 | \ sin (\ alpha\_n)-0 | epsilon은 다음을 의미합니다.
\ lim\_ {x \ to 0} \ sin (x) = 0
바로 다음과 같은 한계를 계산할 수 있습니다.
\ lim\_ {x \ to 0} \ tan (x) = 0
(독자에게 연습으로 남겼습니다) 등
승리,이 질문의 작업 표현과 관련된 다음 제한을 계산해 보겠습니다.
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos ( \ frac {\ phi} {2 ^ k})
여기서 \ phi는 임의의 0이 아닌 (실수) 숫자입니다.제품의 처음 몇 가지 용어를 작성하세요.
\ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac { \ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
반각 정체성으로 시작 :
\ sin (\ phi) = 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ sin (\ frac {\ phi} {2})
\ sin (\ frac {\에 다시 적용 파이} {2}) :
\ sin (\ phi) = 2 ^ 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2 }) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2})
그리고 다시-\ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) :
\ sin (\ phi) = 2 ^ 3 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 3})
등. n 개의 이러한 대체 후에 우리는 다음과 같은 것을 볼 수 있습니다 :
\ sin (\ phi) = 2 ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
코사인의 긴 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\ frac {\ sin (\ phi)} {2 ^ n \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})} = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi} \ frac {\ frac {\ phi} {2 ^ n}} {\ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})}
하지만 위의 제한이 무엇인지 이미 알고 있으므로 다음과 같습니다.
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ k}) = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi}