정답
삼각 표를 사용하지 않으려면 대략적인 값인 \ tan 27을 얻을 수 있습니다. ^ o \ tan x의 테일러 확장을 사용합니다.
실수 또는 복소수 a에서 무한하게 미분 할 수있는 실수 또는 복소수 값 함수 f (x)의 Taylor 급수는 다음과 같습니다. / p>
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, 여기서 f ^ {(n)} (a)는 x = a에서 n ^ {th} 도함수의 값입니다.
각도는 라디안으로 표시되어야합니다.
f (x) = \ tan x 및 a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} 라디안으로 설정합니다.
\ Rightarrow \ qquad f “(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3}, 그리고
\ qquad f “”(a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
우리는 \ tan 27 ^ o = \의 값을 원합니다. tan \ left (\ frac {\ pi} {6}-\ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa =-\ frac {\ pi} {60}.
그런 다음 Taylor 급수의 처음 두 항만 사용하면 ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)-\ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3}-\ frac {\ pi} {45} = 0.507537.
이 값의 오류는 -0.3902 \ \%입니다.
처음 세 용어 만 사용 Taylor 시리즈의 경우
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f “”(a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)-\ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3}-\ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592.
이 값의 오류는 -0.1831 \ \%입니다.
더 높은 정확도를 원하면 더 많은 용어를 사용할 수 있습니다.
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