Beste svaret
Det er ingen absolutt måte å tildele bakker til sirkler på en kule. I lenken gitt av spørgeren, benyttes en kartlegging kalt stereografisk parameterisering: stereografisk parameterisering kartlegger et plan på en sfære, hovedsakelig ved å identifisere planet som homeomorf til en sfære med et enkelt punkt fjernet (når du bruker stereografiske projeksjoner og parametreringer, er dette ofte kalt “punktet ved uendelig” eller projeksjonspunktet.
En grunnleggende egenskap ved denne kartleggingen er at den er konform: den bevarer vinklene som glatte kurver krysser hverandre. Spesielt kartlegger det rette linjer på planet til geodesiske buer på sfæren.
Nå, for å måle hellingen til en linje i planet, må vi velge en orientert linje som vi måler mot. Dette er tradisjonelt valgt å være «x-aksen» orientert mot høyre, fordi vi ofte arbeider med grafer tegnet mot en horisontal uavhengig akse (og jeg antar at retningen kommer fra venstre mot høyre retning for å lese de fleste vestlige språk). Aksen vi velger, bestemmer hvordan skråninger skal måles.
Så når vi først har valgt et akse, kan vi kartlegge dette til en stor sirkel på sfæren, og så kan vi beskrive hellingen til en sirkel ved stereografisk å projisere den tilbake til flyet og måle som normalt. Jeg må imidlertid understreke at dette ikke er en generell funksjon å spise geodesikk og spytte ut tall! Det er en funksjon som spiser to geodesikk OG et punkt (slik at vi vet hvor opprinnelsen er, eller dobbelt, hvor «punktet ved uendelig» er), og spytter ut et tall som gir den relative stigningen i forhold til en «referanseramme.»
Rediger. Noe har plaget meg med dette svaret siden jeg skrev det i går, og et viktig punkt klikket i morges: mange sirkler på sfæren er kartlagt til sirkler på flyet og omvendt, da konforme kart kan utveksle linjer og sirkler (merk at begge kurvene har konstant krumning). Så, skråningen til en sirkel målt mot en annen (orientert!) Sirkel, med et valgt utgangspunkt, vil ikke være fornuftig slik jeg beskriver med mindre de begge er kartlagt til linjer på flyet. Dette gjelder nettopp når begge store sirkler skjærer punktet ved uendelig , og dermed må vi også kreve at punktet vi velger for projeksjon også er et skjæringspunkt for sirkler. Hvis du ser på differensialene deres på det tidspunktet på sfæren, kan du utlede deres relative skråning. Hvis en glatt formel treffer meg, oppdaterer jeg. Jeg beklager at jeg er slurvet og savner dette!