Beste antwoord
Er wordt gegeven dat
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ times x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2-1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Nu is de waarde van x ^ 2 zal zijn – \ omega en – \ omega ^ 2
Waar
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
En
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Laten we nemen dat x ^ 2 zal zijn – \ omega
Nu is de gegeven uitdrukking \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rechterpijl {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Bedenk nu dat \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Dus
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ times {\ omega}) + (1 \ times {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Dus het antwoord is 0
============================================ ================= ===
Vond je mijn antwoord goed? Wil je meer schrijven zoals de dingen die je hierboven leuk vond? Volg mij en stem op dit antwoord.
Antwoord
Dit probleem is een stuk eenvoudiger dan het op het eerste gezicht lijkt, en het is een les in hoe nuttig het kan zijn om symmetrie te zoeken – en vervolgens te exploiteren. Het probleem vereist geen calculus om op te lossen, maar als je wat calculus kent, werkt die aanpak heel goed. De sleutel tot een niet-Calculus-oplossing is om te observeren dat als dezelfde waarde g (x) en h (x) minimaliseert, het ook g (x) + h (x) minimaliseert. Zie je waarom dit waar is?
Hoe kunnen we dat idee op dit probleem toepassen?
Beschouw g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Deze functie is symmetrisch over x = 3.5 – het halverwege tussen de +3 en de +4 waarden die aan x worden toegevoegd – aangezien we het kunnen schrijven als g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 + ((x + 3,5) + 0,5) ^ 4. Als we y = x + 3,5 laten, houdt deze symmetrie in dat g (y) een even polynoom moet zijn en daarom termen bevat met alleen even machten van y. Omdat het een even polynoom is, vertelt de binominale stelling ons dat al zijn coëfficiënten positief moeten zijn. (In feite is het g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, maar we hoeven deze drie termen niet eens expliciet te vinden om het argument af te maken.) Aangezien y = 0, minimaliseert duidelijk elke van de sommaties van g (y) afzonderlijk, aangezien elk een even macht van y is met een positieve coëfficiënt, impliceert onze eerste waarneming dat y = 0 ook g moet minimaliseren. We hebben dus ontdekt dat x = -3.5 de unieke minimalisator is van g (x).
Beschouw vervolgens h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Deze functie is iets eenvoudiger dan g omdat het kwadratisch is, en een bijna identiek argument impliceert dat x = 3,5 ook de unieke minimalisator is van h (x). Maak gebruik van de symmetrie om het te schrijven als h (x) = ((x + 3.5) -3.5) ^ 2 + ((x + 3.5) +3.5) ^ 2. Merk dan op dat h (y) een even polynoom is (en dus alleen even machten heeft van y), en gebruik de binominale stelling om te concluderen dat het alleen positieve coëfficiënten heeft. In feite h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, maar nogmaals, we hoeven het niet expliciet te vinden. Omdat y = 0 alle termen minimaliseert die worden toegevoegd om h (y) te produceren, weten we dat y = 0 h (y) minimaliseert, en we concluderen dat x = -3.5 de unieke minimalisator is van h (x).
Ten slotte, aangezien x = -3.5 de unieke minimalisator is van zowel g (x) als h (x), is het de unieke minimalisator van hun som, en is het probleem opgelost.