Beste antwoord
We kunnen elk positief geheel getal n in de notatie met grondtal tien weergeven als n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, waarbij a\_i \ in \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} en a\_k \ neq 0. Dan n \ geq 10 ^ k. De som van de cijfers is a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Deze ongelijkheid volgt uit a\_i \ leq 9. Het is nu gemakkelijk in te zien dat als k \ geq 2 dan 18 (k + 1) 0 ^ k. Nu houden we de elementen over n = 10a\_1 + a\_0. Deze kunnen eenvoudig met een computer worden gecontroleerd. Hier is hoe ik het deed met Python
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Dus het enige positieve gehele getal dat tweemaal de som van de cijfers is, is 18. Als we niet-negatieve gehele getallen toestaan, hebben we ook 0. Ik weet niet precies hoe deze vraag moet worden geïnterpreteerd voor negatieve gehele getallen.
Antwoord
Het getal N is het product van de eerste 100 positieve gehele getallen. Als alle cijfers van N zouden zijn uitgeschreven, welk cijfer zou dan naast alle nullen aan het einde staan?
In feite zijn we op zoek naar 100! en dan willen we uiteindelijk alle nullen weggooien, dan willen we weten wat het 1e niet-nul cijfer aan de rechterkant is.
Een manier is om daadwerkelijk 100 te berekenen! met behulp van een programma als bc (bench calculator op Linux of Unix) en dan alle nullen weggooien om bij het vereiste cijfer te komen.
Laten we eens kijken naar een andere manier om het probleem op te lossen met behulp van het verdeel en heers principe.
Laten we alle getallen die eindigen op 1 i weggooien. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, want naarmate je vermenigvuldigt, zal het laatste cijfer van het vorige veelvoud (product dat tot dat moment is aangekomen) niet veranderen en we zijn niet geïnteresseerd in 100 berekenen! sans nullen toch.
Laten we kijken naar de eerste 9 nummers die beginnen met 2 en ze zijn:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Van links naar rechts, 2 * 3 geeft je 6, 6 * 4 geeft je 24, bewaar gewoon 4 en vermenigvuldig het met 5 om je 20 te geven (aangezien we nul willen weggooien), bewaar nu 2 en vermenigvuldig het met 6 om je 12 te geven, houd opnieuw slechts 2 over en vermenigvuldig het met 7 om je 4 te geven (van 14) en vermenigvuldig het met 8 om je 2 te geven (verwijder 3 van 32) en vermenigvuldig het met 9 om je 8 te geven ( als u 1 van 18 verwijdert) en vermenigvuldigt met 10, krijgt u 8 (als u 0 of 80 weggooit). U krijgt dus één cijfer, dat is 8 .
Op dezelfde manier werken op 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 geeft je weer 8 .
De volgende serie 22, 23…, 28, 29, 30 geeft je 2.
De volgende serie geeft je 4
Als u op dezelfde manier doorgaat met de resterende reeks, krijgt u 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 en 2 respectievelijk.
Nu, de laatste taak is om de cijfers zoals hierboven te vermenigvuldigen die we voor elk van de reeksen hebben bereikt.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 en terwijl je deze vermenigvuldigt cijfers en gooi het tiende cijfer weg, we komen uit op 4 als het laatste cijfer.
Dit is het Het laatste antwoord van de vraag, 4 is het vereiste cijfer.