Beste antwoord
Oorspronkelijk beantwoord: Wat is een goede schatting van de kubuswortel van 4?
De ne wortel van N is een wortel van x ^ nN = 0. De afgeleide van x ^ nN is nx ^ {n-1}, dus gegeven een eerste schatting, x, van de wortel, is een nadere schatting met de methode van Newton
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
wat het gemiddelde is van ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 van deze}} \ text {en} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Dit gewogen gemiddelde is logisch als je eenmaal beseft dat zowel x als \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} schattingen zijn van de n-de wortel van N, dat ze in tegengestelde richtingen “uit” zijn , en dat x een n-1 keer betere schatting is dan \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Laten we nu de methode toepassen …
Laat N = 4. Laat x je schatting zijn van de kubuswortel van 4. Begin met een goede gok, zoals x = 2. Bereken dan
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ om een betere schatting te krijgen.
In dit geval
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ approx 1.66666667…
Herhaal vervolgens met x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ ongeveer 1.5911111 …
Dit is een benadering die goed is voor ongeveer 3 significante cijfers, dus laten we het nog een keer doen,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ ongeveer 1.58740969614163 …
Dit is goed voor ongeveer 6 significante cijfers. Bij elke herhaling verdubbelt het aantal juiste cijfers ongeveer.
Antwoord
Afhankelijk van hoeveel je weet in wiskunde, zijn er 2 mogelijke manieren:
- Gebruik logaritmen
- Gebruik iteratieve methoden (bisectiemethode, Newton-Raphson-methode enz.)
Logaritmen- Neem x = 2 ^ {1/3}
Dus log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0.30102999 = 0.100343 (ongeveer)
daarom x = antilog (0.100343) = 1.2599 (ongeveer)
Iteratieve methoden- Ik zal laten zien met de halveringsmethode, je kunt andere proberen als je wilt. (Het proces is bijna hetzelfde.)
Laat x = 2 ^ {1/3}
Dus, x ^ 3 – 2 = 0
Laat f (x) = x ^ 3 – 2
We kiezen twee waarden zodat de ene f (x) <0 geeft en de andere f (x)> 0
We zien dat f (x) <0 voor x = 1 en f (x)> 0 voor x = 2. Dus x1 = 1, x2 = 2
Nu nemen we het gemiddelde van deze waarden als nieuwe x
Dus nieuwe x = (1 + 2) / 2 = 1.5
f (1.5) = 1.375> 0
We zien dat zowel 1.5 als 2 waarden geven> 0, dus we gooien 2 weg, omdat het de waarde van f (x) meer weg geeft van 0. We houden alleen waarden van x die de waarde van f (x) dichter bij 0 geven
Dus we nemen x1 = 1 en x2 = 1.5
opnieuw vinden we nieuwe x = (1 + 1.5) / 2 = 1.25
f (1.25) = -0.046875
Nu vinden we verwerp 1 als 1,25 geef de waarde van f (x) dichter bij 0
dus nemen we x1 = 1,25 en x2 = 1,5
Opnieuw vinden we nieuwe x als gemiddelde van deze 2 waarden, vervang f (x) om het teken ervan te zien, en afhankelijk daarvan nemen we onze nieuwe x1- en x2-waarden.
Herhaal dit proces totdat u tevreden bent met uw antwoord (laatste x).
P.S. Deze processen zullen nooit een exact antwoord geven, je moet bij benadering stoppen.