Beste antwoord
Bij het bekijken van de andere antwoorden die al zijn gepost, ben ik helemaal niet tevreden met hun volledigheid. … En, als ervaren wiskundeleraar, voel ik me verplicht om een onverkort antwoord te geven.
De cos (2x) -formule die je hebt aangegeven is een van de drie dubbele-hoekidentiteiten voor cosinus. Het oplossen van deze vergelijking voor sin (x / 2) resulteert in de halve-hoekidentiteit voor sinus.
Houd er rekening mee dat waar Ik heb een * gemarkeerd. Een van de minder bekende regels van trigonometrie geeft aan dat je alle trigonometrische argumenten op equivalente wijze kunt delen door dezelfde constante aan beide zijden van een vergelijking. In feite kunt u elke constante delen. maar dit is misschien niet altijd nuttig. Probeer de bovenstaande vergelijking voor sin (x / 3) op te lossen, en gebruik deze vervolgens om sin (pi / 12) te vinden. Het werkt prachtig.
Om de sin (x / 2) -formule daadwerkelijk te gebruiken, moet je de gegeven vergelijking manipuleren met een equivalente, complexe breuk, zoals hier getoond:
Dit wordt natuurlijk gedemonstreerd in de eerste afbeelding hierboven. Naast het kennen / afleiden van de identiteit van de halve hoek, is de grotere uitdaging het daadwerkelijk toe te passen.
Antwoord
I. Laten we een probleemoplossende benadering gebruiken die bekend staat als equivalentie .
Met deze benadering kiezen we een voordelig object of een reeks objecten en kijken naar hen vanuit verschillende… hoeken in de hoop dat we in het proces een vruchtbare relatie kunnen afleiden.
Een dergelijk object of begrip zou kunnen zijn vierkant gebied .
We beginnen met een rechthoekige driehoek waarvan de lengte van de hypotenusa een eenheid is, kiezen een hoek x en markeren de lengtes van de zijden van de driehoek als \ cos x, die we behandelen als driehoek hoogte , en \ sin x, die we behandelen als de basis van de driehoek:
Vervolgens nemen we aan dat het een bewezen feit is dat de vierkante oppervlakte van een driehoek het gehalveerde product is van zijn bas e over hoogte:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
De volgende stap is behoorlijk uitdagend omdat we in vacuüm niet echt precies weten wat ons te wachten staat aan de andere kant van 2 \ sin x \ cos x. Vanuit het standpunt van ontdekkers staren we in de afgrond van het onbekende. Dus noem het intuïtie, een blije gedachte of gewoon een neus, maar we redeneren als volgt:
ok, we hebben een manier gevonden om een concreet begrip (een vierkant gebied) te koppelen aan een anders abstract en, laten we eerlijk zijn het, nogal mysterieuze uitdrukking, maar – niet precies omdat we er nog steeds de factor 2 in moeten werken.
Hoe kunnen we dat doen?
Nou, hoe zit het met het naast elkaar leggen van de twee identieke driehoeken samen?
Dan blijft de hoogte, of de \ cos x in ons jargon, hetzelfde, maar we winnen door de twee identieke bases, \ sin x in ons jargon, tot één te lassen:
Merk op dat we uw uitdrukking pedant volgen / interpreteren.
Dit is de tijd voor gelijkwaardigheid om rechtop te staan en geteld te worden. De nieuwe samengestelde vorm is nog steeds een driehoek en het vierkante gebied is nog steeds:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
maar we hebben het recht om op een andere manier naar dezelfde vorm te kijken: als we de zijde van lengte 1 als basis beschouwen, dan is de loodlijn erop, in rood weergegeven, de hoogte. Maar de hoek aan de bovenkant is 2x. Daarom is de nieuwe hoogte per definitie:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Daarom kan hetzelfde vierkante gebied van dezelfde driehoek zijn weergegeven als:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Maar ( 2 ) en ( 4 ) vertegenwoordigen dezelfde grootte. Daarom:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
van waaruit we ontdekken dat:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Voor een gelijkaardige maar meer geletterde behandeling begin met dezelfde driehoek als hierboven en verdubbel de lengte van de \ sin x zijde door een cirkel \ sigma te construeren met het middelpunt op B en de straal BA:
Maar nu snijdt AC \ sigma bij E (zolang x 5 ^ {\ circ}) en ofwel door de Thales Theorem ofwel door de Euclids B3P31 (de hoek in een halve cirkel is rechts) de hoek bij E is juist:
en aangezien de rechthoekige driehoeken ABC en AED een gemeenschappelijke hoek \ theta delen, volgt hieruit dat \ hoek ADE = x en uit \ driehoek AED voor ED:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Maar vanaf de rechthoekige driehoek CED voor ED hebben we:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
en dus:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(misschien vind je dit een magerder equivalent, aangezien we de lengte van een lijnstuk hebben gebruikt om de kloof tussen de twee stukken samen te overbruggen)
III. Naar alle waarschijnlijkheid lijkt deze versie te geavanceerd, maar ik zal hem toch laten zien en om twee redenen. Eén reden is om aan te tonen dat er in de wiskunde niet alleen veel verschillende manieren zijn om hetzelfde resultaat te verkrijgen, maar dat sommige van deze manieren misschien verrassend lijken. De andere reden: je hebt iets om naar uit te kijken.
Op een bepaald moment in je wiskundige opleiding kun je deze objecten tegenkomen die complexe getallen . Met deze getallen kunnen onze twee trigonometrische functies als volgt worden geregistreerd (dankzij een grote Zwitserse wiskundige Leonard Euler (1707–1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
waarbij e Eulers Number is en ik deze eigenaardige eigenschap heeft dat i ^ 2 = -1 maar negeer dit allemaal even en gewoon botweg vermenigvuldig de bovenstaande twee breuken volgens de regels van de middelbare school algebra:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
volgens ( 5 ).