Beste antwoord
Aangezien de ellips een geplette cirkel is, zouden we een equivalente cirkel kunnen beschouwen. Dit zou slechts een benadering zijn en niet de exacte waarde van de omtrek van de ellips.
We weten dat de vergelijking van een ellips is:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Als a = b = r wordt dit de vergelijking van een cirkel. Dus ik zou de vergelijking van de equivalente straal van de cirkel kunnen schrijven in termen van a en b.
In plaats van het gemiddelde van a en b te nemen, zouden we een betere benadering krijgen door het gemiddelde kwadraat van a en b nemen.
dwz
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Daarom zou de geschatte omtrek van de ellips zijn:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Er zijn veel betere benaderingen beschikbaar, maar ik denk dat dit voldoende zou zijn.
Ik hoop dat dit heeft geholpen.
Antwoord
Laten we proberen of we de omtrek van een ellips kunnen vinden.
Een ellips met halve lange as a en halve korte as b heeft vergelijking:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Een grafiek (we “zullen het hier met verf moeten doen, mijn wiskundige software heeft een licentieverlenging nodig):
Om de omtrek te vinden, moeten we een deel van deze omtrek \ text {d} s uitdrukken als een functie van \ text {d} x, \ text {d} y en hopelijk arriveren op een bruikbare uitdrukking.
Als we aannemen dat we \ text {d} s met een rechte lijn kunnen benaderen, kunnen we Pythagoras toepassen:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
of
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Ik neem aan dat we altijd \ text {d} x> 0 nemen, of we gaan van links naar rechts langs de hoofdas.
U hoeft alleen nog maar te adverteren d deze kleine bijdragen van booglengte. We kunnen x \ in [0, a] beschouwen en vermenigvuldigen met 4 omdat onze ellips symmetrisch is in de x-, y-as.
We vonden:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Als we een (leuke) manier vinden om uit te drukken:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
we zijn in zaken.
We hebben echter al uitdrukking (1), die y relateert aan x. Tijd om te berekenen (3), ik zal impliciete differentiatie gebruiken:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
of
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
of
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
We moeten dit alleen met x kunnen schrijven. We zullen (1) opnieuw gebruiken:
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Vervang (5) door (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Vervangen door (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Er zijn een paar opties om deze integraal te herschrijven. Een optie zou zijn om x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z in te stellen en je zou komen tot:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
Een andere methode zou zijn om een parametrisering van de ellips van de volgende vorm te gebruiken:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
En dit leidt tot een elliptische integraal van de tweede soort, wat min of meer de standaardbenadering is:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
met
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
de excentriciteit van de ellips.
Als we de uitdrukkingen (6,7) en (8) vergelijken, zien we dat men (8) misschien verkiest boven (6, 7). De laatste uitdrukking is niet alleen eenvoudiger in zijn parameter e, maar gedraagt zich ook netjes. In uitdrukking (6,7) hebben we nog steeds een probleem wanneer x \ naar a, z \ naar 1.
er is geen uitdrukking in gesloten vorm voor het resultaat. Voor een cirkel geldt e = 0 en (8) reduceert mooi tot 2 \ pi a, zoals het hoort. Hetzelfde geldt voor (6,7).