Beste antwoord
A2A.
De waarde van tan40 ° kan niet worden gevonden met de standaard trigonometrische som, verschil- of submeervoudige hoekformules. Als u echter vertrouwd bent met het oplossen van kubieke vergelijkingen, kan deze methode van pas komen:
We weten het,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
X vervangen door 40 ° in deze vergelijking –
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Tan40 ° schrijven als y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° is een standaardwaarde en is gelijk aan – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Bij het oplossen van deze vergelijking worden drie waarden verkregen waarvan de positieve waarde tan 40 ° oplevert.
Vandaar ongeveer, tan 40 ° = 0.8394.
Antwoord
Wat is de waarde van \ tan 40 ^ o?
We kunnen de waarde van \ tan 40 ^ o vinden tot elk gewenst niveau van nauwkeurigheid met behulp van de Taylor-reeks van \ tan x.
De Taylor-reeks van een reële of complexe waardefunctie f (x) die oneindig differentieerbaar is op een reëel of complex punt a wordt gegeven door ,
f (x) = f (a) + \ frac {f “(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” “(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f “” “(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Dit kan compact worden geschreven als f (x) = \ sum \ limieten\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad waarbij f ^ {(n)} (a) de n ^ {th} afgeleide van f (x) op x = a aangeeft.
Opgemerkt kan worden dat in het geval van trigonometrische functies de hoek moet worden uitgedrukt in radialen en niet in graden.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ right) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Als we x = \ frac {2 \ pi} {9} en a = \ frac {\ pi} {4} nemen, hebben we (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
Bij a = \ frac {\ pi} {4} is \ tan x oneindig differentieerbaar.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f “(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f” (a) = f “\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” “(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” (a) = f “” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f “” “(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” “(a) = f” “” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ ongeveer 0,83892575.
De waarde van \ tan (40 ^ o) zoals gegeven door Excel is 0,83909963.
Het is duidelijk dat zelfs met slechts 4 termen van deze oneindige reeks, de fout slechts 0,0272 \\% is.
Als een grotere nauwkeurigheid is nodig kunnen we verdere termen van de oneindige reeks opnemen.