Beste antwoord
Begin met op te merken dat sin 35 ° ligt dicht bij sin 30 ° = 1/2. We weten dus meteen dat het ongeveer 1/2 is. Dat is binnen ongeveer 7\% van de werkelijke waarde.
Laten we proberen een betere schatting te krijgen. Door de identiteit van de toevoeging van de hoek,
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Aangezien 5 ° = π / 36 een relatief kleine hoek is, kunnen we de benaderingen gebruiken sin x ≈ x en cos x ≈ 1. Dus
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Nu π ≈ 22/7, en (√3 / 2) ≈ 7/4 omdat 49/16 ≈ 3. Dus we krijgen
sin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Dit verschilt van de werkelijke waarde met minder 1\%.
Een andere benadering is het berekenen met behulp van de eerste paar termen in de Taylor-reeksuitbreiding van sin x . Dit is nauwkeurig tot beter dan 0,1\%, maar moeilijker met de hand te berekenen dan 83/144.
Antwoord
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Nu Sin (3x), uit de algemene formule, is gelijk aan 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, dus x = 10 graden, wat Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 geeft en daarom,
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 of, door deze vergelijking te manipuleren en Sin (10) = y te zetten, krijgen we
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Los deze kubiek op met behulp van een numerieke iteratieve methode zoals de methode van Newton-Raphson, met de hand, om na een slog te krijgen:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Het is duidelijk dat je naar minder cijfers kunt gaan, afhankelijk van wat je vereiste precisie is.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0.9848077530122.
Zet de waarden voor Cos (10) en Sin (10) in (1) hierboven om het volgende te krijgen:
Sin (35) = 0.57357643639 zoals gevraagd.