Beste antwoord
Gebruik om dit te bewijzen de sinusaftrekformule.
ie, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Hier a = π en b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Vandaar bewezen
Antwoord
Bewijs 1:
De eenvoudigste manier om te bewijzen
cos (π / 2 – x) = sin x
is om A = π / 2, B = x in de trigonometrische formule te plaatsen
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
en verkrijg
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Het vervangen van cos π / 2 = 0 en sin π / 2 = 1 in (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (bewezen)
Bewijs 2:
Laat ABC een driehoek zijn met een rechte hoek op B. Laat AB de basis zijn en AC de hypotenusa. Als we de hoek C met x aangeven, is de basishoek A = (π / 2 – x) zodat A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π of 180 °.
Nu voor de basishoek A, is BC de loodlijn.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = basis / hypotenusa = AB / AC ………… .. (3 )
Voor de hoek C is AB de loodlijn en daarom
sin C = sin x = loodrecht / hypotenusa = AB / AC ……………. (4)
Vergelijking van (3) en (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (bewezen)
Bewijs 3:
Gebruik de formule van Euler
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
die het symbool eⁱᶿ definieert voor elke echte waarde van θ. Hier i = √-1.
∴ We kunnen θ = (π / 2 – x) in de formule plaatsen en schrijven
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Of, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Nu e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i en e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Of, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Aangezien i² = -1]
Vergelijking van de reële en imaginaire delen,
cos (π / 2 – x) = sin x (bewezen)
en cos x = sin (π / 2 – x)
Slotopmerkingen:
Van de drie methoden die hier worden gepresenteerd om de gegeven bewering te bewijzen, zou de geprefereerde methode Proof 1 moeten zijn. Dit komt omdat het eenvoudig, ongecompliceerd en snel is. Kan mentaal worden gedaan door een gemiddelde student in ongeveer 30 seconden. In Proof 2 is er ruimte voor verwarring over wat de basis is, wat de juiste loodlijn is die moet worden genomen. Bovendien moet je extra tijd besteden aan het tekenen van een driehoek, het markeren van de zijkanten, de hoeken, etc. Proof 3 is prima; maar niet veel zijn comfortabel of goed in het werken met complexe functies. De methode brengt meer algebra met zich mee dan de andere methoden; maar het geeft een bonus, namelijk: het bewijst de formule cos x = sin (π / 2 – x).