Beste antwoord
Een complex getal is een tweedelig getal. Het heeft een reëel deel en een denkbeeldig deel. We hebben de neiging om het in de vorm te schrijven,
a + bi, waarbij i de vierkantswortel is van een negatieve, dat wil zeggen, (-1) ^ (1/2)
Ondertussen , het kwadraat van een getal is het aantal maal zichzelf. Dit betekent dat
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
We kwamen iets soortgelijks tegen toen we de factoren van kwadratische vergelijkingen in overweging namen. Er is een systematische benadering voor het uitbreiden van het product van twee tweedelige factoren. Mogelijk bent u het acroniem “FOIL” tegengekomen:
- Vermenigvuldig de twee F eerste termen
- Vermenigvuldig de twee O baarmoedertermen
- Vermenigvuldig de twee I nner termen
- Vermenigvuldig de twee L ast termen
Tel de vier termen op voor het antwoord
Pas dezelfde FOIL benadering toe, met (a + bi) * (a + bi), en krijg
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
We kunnen een beetje reorganiseren. De middelste twee termen zijn hetzelfde, dus we kunnen ze één keer noemen, maar vermenigvuldigd met twee.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
En nu zullen we kijk naar die laatste term en besef dat het kwadraat van een product kan worden geschreven als het product van de afzonderlijke vierkanten. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Laten we die regel toepassen:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Maar “i” is de vierkantswortel van -1. Het kwadraat van de vierkantswortel van een getal is het getal zelf. Dus (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Laten we dit aansluiten.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Die laatste term is nog steeds lelijk. We kunnen de ‘maal negatief’ naar de andere kant verplaatsen en de hele term herschrijven als een aftrekking.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Maar kijkend naar de expressie, volgen we niet het formaat van een reëel deel gevolgd door een denkbeeldig deel. We hebben een reëel deel, een denkbeeldig deel en nog een reëel deel. Laten we de echte delen opnieuw groeperen.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Antwoord
Denk eerst aan een complex getal, a + bi als een geordend paar (a, b ). In het COMPLEXE VLAK met een horizontale REAL AS waar de x-as normaal is en een verticale IMAGINAIRE AS waar de y-as normaal is, tekent u het punt (a, b) op de normale manier. Nu, de afstand van de oorsprong tot het punt (a, b), ik denk dat het de MODULUS van een complex getal wordt genoemd, laten we dat r noemen.
We weten dat r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) door de PYTHAGOREAN-stelling. (Sorry voor de notatie, maar ik ben daarmee beperkt.)
Ook de hoek tussen de positieve Reële-as en de lijn van de oorsprong naar (a, b) we noemen Theta (laten we daarvoor T gebruiken). (Het wordt het ARGUMENT van het complexe getal genoemd)
Nu. Het complexe getal a + bi kan in POLAR FORM worden geschreven als
a + bi = r (Cos T + iSin T) sinds
a = r CosT en. b = r Sin T
Om de vierkantswortel te nemen van a + bi, gebruik de polaire vorm.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Dus om dit eenvoudig, kijk gewoon naar de grafiek van het complexe getal a + bi, met een lijn van de oorsprong naar (a, b). Draai nu de lijn halverwege terug naar de x-as, en verkort deze tot de vierkantswortel zolang deze was. De coördinaat van dat eindpunt is de vierkantswortel van het complexe getal. De andere De vierkantswortel is slechts 180 graden vanaf daar.
Om dat te bewijzen, nemen we de vierkantswortel van Z = -4
De grafiek is een punt op de negatieve reële as , 4 eenheden links van de oorsprong. De hoek T = 180 graden.
om de vierkantswortel van -4 te nemen, draait u de lijn terug naar 90 graden (de helft van 180) en verkort u de lengte tot 2 de vierkantswortel van 4. We eindigen 2 eenheden op de denkbeeldige as. Dus een vierkantswortel van -4 is 2i. En de andere vierkantswortel is -2i, 180 graden verwijderd.
In symbolen:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
en 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Om de vierkantswortel van (i) te krijgen
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radicaal 2 boven 2 + (i) radicaal 2 boven 2.