Beste antwoord
op Hoe los ik tan theta = -2 op?
Welnu, hiervoor beginnen we met de functie arctan , die het omgekeerde is van de tangens -functie en vindt een waarde \ theta zodanig dat \ tan (\ theta) = -2.
We kunnen de waarde berekenen, maar dit is een complex procedure met denkbeeldige getallen. Dit lijkt veel problemen, dus het gebruik van een set tabellen zou gemakkelijker zijn, ook al is het misschien iets minder nauwkeurig. Hoewel ik een oude set op de zolder van mijn ouders heb, heb ik daar momenteel niets aan, dus laten we op internet wat tafels zoeken. Wacht, als ik toegang heb tot internet, waarom zou ik dan niet kijken of het internet de berekening voor mij kan doen?
Nou, deze benaderingen zijn waarschijnlijk nauwkeuriger dan we nodig hebben, maar we houden het voorlopig bij.
Misschien houdt u niet van het idee van negatieve hoeken? Maak je geen zorgen, het is gemakkelijk om deze naar positieve hoeken om te zetten door 2π radialen / 360 ° toe te voegen.
We hebben dus 5.17603659 radialen / 296.5650512 °
Maar we zijn nog niet klaar !
De arctan functie retourneert alleen hoeken in het exclusieve bereik (-0.5 \ pi, 0.5 \ pi), dwz (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Zijn er dus andere hoeken waarvan de tangens -waarde -2 is?
Ten eerste de tangens -functie geeft een negatieve waarde als de hoek in het tweede en vierde kwadrant valt, namelijk als de hoeken in het exclusieve bereik (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) en (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). We hebben de oplossing al in het vierde kwadrant, dus wat is de oplossing in het tweede kwadrant? Dat is oost, neem gewoon π radialen / 180 ° van de oplossing in het vierde kwadrant.
Waarom? Welnu, van de samengestelde-hoekformule voor de tangens -functie, hebben we:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – as \ tan (\ pi) = 0
Dit geeft ons onze tweede oplossing, 2.03444393 radialen / 116.5650512 °
Ten tweede is de tangens -functie periodiek, met een periode van 2π radialen / 360 °; dit betekent dat het toevoegen van een veelvoud van 2π radialen / 360 ° aan onze hoek dezelfde tangens waarde oplevert.
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – als \ tan (2 \ pi) = 0
Dus als we k gebruiken om een geheel getal te vertegenwoordigen, is onze volledige oplossingsset:
(2.03444393 + k \ pi) \ radialen of (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Antwoord
Bedenk dat sec (theta) = 1 / (cos (theta). Dan heb je
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, wat een kwadratische vergelijking is in cos (theta). De twee wortels van deze vergelijking zijn (3 + – sqrt (5)) / 2 die eigenlijk 1 + – phi zijn, waarbij phi de beroemde “gulden snede” is en de wortels zijn van de kwadratische x ^ 2 – x – 1.
Aangezien phi een wortel is, laat het delen van deze vergelijking door phi ^ 2 zien dat de andere wortel is -1 / phi. En aangezien phi + 1 = phi ^ 2, hebben we dat de wortels van je oorspronkelijke vergelijking phi ^ 2 en 1 / phi ^ 2 zijn. Aangezien de cosinus 1 moet zijn, moeten we de kleinere wortel gebruiken .
Beschouw nu de oude Fibonacci-reeks 0, 1,1, 2, 3, 5, 8 waarin de (n + 1) de term de som is van de nde en (n -1) de termen. Het blijkt dat phi en zijn geconjugeerde wortel nauw verwant zijn aan deze reeks. De manier waarop dit hier van toepassing is, is als volgt:
Als de nde Fibonacci-term F (n) is, dan is phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (Het bewijs is een inductie op n, gebruikmakend van de Fibonacci-definitie F (n + 1) = F (n) + F (n-1) in de laatste stap.) Je wilt dan laten zien dat phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. De 6e en 7e Fs zijn 5 en 8. Dus je moet evalueren
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Als je dit vermenigvuldigt en de tweede term rationaliseert, krijg je 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED