Beste antwoord
Ik zou de identiteit \ gebruiken cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x, of
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Dus \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Gebruik nu de identiteit \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1, of
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Dus we krijgen
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Antwoord
Deze oefening verwijst naar het gebruik van halve-hoekformules om nieuwe uitdrukkingen van lagere graden te produceren. Het is moeilijk om dit te zien zonder context, dus houd er rekening mee dat deze problemen altijd kunnen worden opgelost met halve hoekformules.
We kunnen dus de oorspronkelijke uitdrukking opsplitsen in het product van twee (sin x) ^ 2 termen en doorgaan met het gebruik van de tweede formule in de afbeelding die ik heb toegevoegd.
Vermenigvuldig en breid uit om
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Oh nee! Het lijkt erop dat we nog niet klaar zijn! Maak je geen zorgen, bekijk de eerste formule op mijn bijgevoegde foto en vervang de gekwadrateerde term door de uitdrukking. Merk op dat we beginnen met een 2x en deze moeten verdubbelen tot 4x in plaats van precies wat er in de formule staat. Vervang en geef dus het volgende op:
1/4 (1-2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Neem dan een gemeenschappelijke noemer en verplaats die met de 1 / 4, wat een 1/8 oplevert aan de buitenkant.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Combineer soortgelijke termen voor ons uiteindelijke antwoord
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Uitstekende vraag!