Beste antwoord
kunt bewijzen, hangt sterk af van hoe u denk aan sinus en cosinus.
Als je sinus en cosinus beschouwt als verhoudingen van zijden van een rechthoekige driehoek (zoals op de middelbare school, waar ze sinus leren als tegengesteld over hypotenusa), dan krijg je een rechthoekige driehoek met zijden a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (de laatste door pythagorische driehoek), en \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Als je sinus en cosinus beschouwt als de coördinaten van een punt op de eenheidscirkel (geparametreerd door de booglengte van de cirkel), dan voldoet volgens de definitie van de eenheidscirkel elk punt aan x ^ 2 + y ^ 2 = 1, dus het punt (\ sin \ theta, \ cos \ theta) doet dat ook, dus \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Sinus en cosinus kunnen ook worden gedefinieerd als onafhankelijke oplossingen voor de differentiaalvergelijking f = -f, met \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Aangezien er slechts twee onafhankelijke oplossingen zijn voor de vergelijking , en het is gemakkelijk in te zien dat f ^ {(n)} een oplossing is, het moet zo zijn dat \ sin x, \ sin x, \ sin x geen onafhankelijke oplossingen kunnen zijn. In feite is \ sin x = – \ sin x, dus \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, dus \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Hieruit kunnen we impliciet differentiëren \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x om 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Dus de waarde van \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x is een constante, en geëvalueerd als 0 krijgen we \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, dus \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Sinus en cosinus kunnen ook worden gedefinieerd door de machtreeks \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Een zorgvuldige uitbreiding van die machtreeksen in de uitdrukking \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x zal alle termen met betrekking tot x ^ n annuleren laten zien, waarbij alleen de constante term 1 als de waarde overblijft.
Antwoord
Om hierover na te denken, moeten we overwegen wat de trigonometrische verhoudingen zijn. We weten dat de sinusverhouding gelijk is aan de hoek tegenovergesteld aan een zijde over de hypotenusa vanuit een hoek, of o / h. We weten ook dat de cosinusverhouding gelijk is aan de aangrenzende zijde tot een hoek over de hypotenusa, of a / h. Vervolgens zien we dat beide verhoudingen in het kwadraat zijn, wat betekent dat de trigonometrische identiteit, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, equivalent is aan (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, wat gelijk is aan o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Omdat we een gemeenschappelijke noemer hebben, kunnen we deze twee vergelijkingen combineren om (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2 te krijgen. We kunnen dit dan bekijken en beseffen dat we alle zijden van een driehoek definiëren. We weten door de stelling van Pythagoras dat a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. We kunnen zien dat aangezien elk van deze waarden van o, a en h alle verschillende zijden van een driehoek zijn, ze gelijk zijn aan a, b en c. De waarde van c in de stelling van Pythagoras is de hypotenusa van een rechthoekige driehoek, dus we weten dat h = c. Dit betekent dat a en b gelijk zijn aan o en a. Het maakt niet uit welke aan welke letter wordt toegewezen, aangezien de resultaten niet veranderen. We kunnen dan zien dat we door de stelling van Pythagoras weten dat a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, wat leidt tot o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Dit betekent dat we de teller van onze vorige vergelijking kunnen vervangen, waardoor deze equivalent is aan (h ^ 2) / (h ^ 2). Ten slotte weten we dat elke variabele die door zichzelf wordt gedeeld gelijk is aan 1, daarom is deze vergelijking gelijk aan 1. Als we teruggaan naar de oorspronkelijke vergelijking, hebben we bewezen dat sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.