Hoe ∫udv = uv-∫vdu te begrijpen? Interpreteer ik het als een omgekeerde productregel


Beste antwoord

Laten we beginnen met de productregel.

Voorbeeld: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Hoe ben ik daar gekomen? De productregel is: Wanneer y = uv, waarbij uv twee verschillende functies zijn die met elkaar worden vermenigvuldigd – in dit geval sinus en cosinus dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)

Dus in het bovenstaande voorbeeld, dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 of (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

De omgekeerde productregel is gewoon het tegenovergestelde, zoals integratie het omgekeerde / tegenovergestelde is van differentiatie.

Dus van dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Laten we alles integreren! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx

Het differentiëren van y wordt dy / dx, dus het integreren gaat terug naar y. Dus y = ∫u dv + ∫v du

Aangezien we weten dat y = uv (zie hierboven) uv = ∫u dv + ∫v du

Dan herschikken we gewoon de vergelijking als zodanig:

∫u dv = uv – ∫v du Done.

Ik begrijp het ook niet helemaal, maar dit is zo goed als ik kan om uit te leggen hoe leid het af.

Antwoord

Hier is een manier om erover na te denken: ∫udv integreert langs de v-as. Het berekent het gebied onder de u-curve naar v.

∫vdu integreert langs de u-as. Het berekent het gebied links van de v-curve, richting u.

Zet de twee bij elkaar en je krijgt een vierkant: het hele gebied tussen de u- en v-assen. De totale oppervlakte is het product van de twee: uv. Samenvattend krijg je:

∫v du + ∫u dv = uv

Van daaruit kunt u de formule gemakkelijk afleiden. Het is ook gemakkelijk te visualiseren.

Bron: Sigma MathNet

Dit is een oversimplificatie van het idee, dat algemener is dan dit, maar dit is een veel voorkomende uitleg (en soms behandeld als een informeel bewijs). Voor een beetje meer discussie, zie Leg dit bewijs uit zonder woorden van integratie door delen voor mij .

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *