Beste antwoord
Laten we het voorkomen van het cijfer 2 als eerste tellen in 1 tot 10. Er is alleen 1 daar, namelijk voor het getal 2.
Neem vervolgens de volgende tien getallen en tel het voorkomen van het cijfer 2 erin, en we krijgen er 2, namelijk in de getallen 12 en 20.
Op dezelfde manier komt het 10 keer voor in de nummers 21 tot 30, zoals het tweemaal voorkomt in 22.
Op dezelfde manier voortgaand voor de volgende nummers tot en met 120, we ontdek dat het eenmaal per tien nummers bestaat plus nog een keer, in totaal 10.
Tussen 121 en 130 komt het weer 10 keer voor, zoals het weer twee keer voorkomt in 122.
Vanaf 131 tot 190 komt het cijfer 2 één keer voor per 10 nummers, in totaal 6.
En in de laatste tien nummers (191-200) komt het twee keer voor.
Alle exemplaren bij elkaar opgeteld we vinden dat het cijfer 2 41 keer voorkomt, namelijk in de nummers 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 en 200.
Antwoord
Ik zal je twee regels laten zien, er kunnen er veel zijn.
Tussen hen is de eerste eenvoudig en de tweede meer wiskundig en wetenschappelijk:
Proces 1:
Als we n ^ 5 doen, komt het laatste cijfer van het resultaat altijd hetzelfde als het laatste cijfer van n.
Als we nu (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Het laatste cijfer komt als het laatste cijfer van de optelling (1 + 2 + 3 +… .. + 99) .
Nu,
Het laatste cijfer van de optelling (1 + 2 + 3 + … .. + 99)
= Het laatste cijfer van \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= Het laatste cijfer van \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Dus het laatste cijfer van de toevoeging,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) is Zero.
Proces 2:
Dat weten we,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Dus, voor (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Het antwoord is:
161708332500
Het laatste cijfer is dus nul .
PS: We weten dat 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a wiskundig is geschreven als \ Sigma n ^ a. De algemene formule voor de vermogenssom staat bekend als Faulhabers formule (ook bekend als de formule van Bernoulli):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ onderstrepen {k-1} n ^ {p-k + 1}
waar, \ textbf {p} ^ \ onderstrepen {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} wordt een dalende faculteit genoemd en B\_ {k} zijn de Bernoulli-getallen.
Met die formule kunnen we elke specifieke formule voor macht afleiden som, zoals hieronder wordt weergegeven:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Bedankt voor het lezen van mijn antwoord. Ik hoop dat dit helpt.