Beste antwoord
Hoe vind ik de oppervlakte van een ronde ring?
Een ronde ring is in wezen een torus.
Het oppervlak van een torus wordt gevormd door een cirkel met straal r die rond een as op een afstand R van het middelpunt van de cirkel (R> r) wordt geroteerd. De as loopt door het midden van de torus.
Zo krijgen we een cirkelvormige ring met een dikte van 2r met binnenradius Rr en buitenradius R + r.
Een dwarsdoorsnede van de cirkelvormige ring wordt hieronder gegeven.
Beschouw een klein deel van de cirkel aan de linkerkant, onder een hoek \ theta met de lijn het samenvoegen van de middelpunten van de twee cirkels aan de diametraal tegenoverliggende uiteinden van de doorsnede, onder een hoek d \ theta in het midden van de cirkel, zoals weergegeven in de afbeelding.
De boog gevormd door de hoek d \ theta is r \, d \ theta.
De afstand van deze boog vanaf het midden van de ring is Rr \ cos \ theta.
Wanneer we deze boog rond de as draaien passerend door het midden van de ring, krijgen we een strook van het oppervlak van de ring van 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta.
Om het oppervlak van de ring te krijgen ring moeten we dit integreren van \ theta = 0 naar \ theta = 2 \ pi.
\ Rightarrow \ qquad A = \ int \ limieten\_0 ^ {2 \ pi} 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta
\ q quad \ qquad = 2 \ pi \ left [rR \ theta-r ^ 2 \ sin \ theta \ right] \_0 ^ {2 \ pi} = 4 \ pi ^ 2rR.
\ Rightarrow \ qquad De oppervlakte van de ronde ring is 4 \ pi ^ 2rR.
Antwoord
Er zijn twee soorten ronde ringen die ik heb gezien.
[1] Ronde ring met cirkelvormige dwarsdoorsnede.
in dit geval, om het oppervlak te vinden, maakt u gewoon een uitgesneden doorsnede. Het zou eruit zien als … cilindrische staaf.
Het vinden van het oppervlak is
Radius van cilindrische staaf, r = \ frac {(R\_2-R\_1)} {2}, waarbij R\_1 en R\_2 de interne en externe straal van een ronde ring zijn.
Lengte van cilindrische staaf, l = 2 \ pi R\_m, waarbij R\_m de gemiddelde straal van de cirkelvormige ring is, dwz R\_m = \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2}
Oppervlakte = 2 \ pi rl = 2 \ times \ pi \ times \ frac {(R\_2-R\_1)} {2} \ times (2 \ pi \ times \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2})
dwz , \ pi ^ 2 (R\_2 ^ 2-R\_1 ^ 2)
[2] Ronde ring zonder ronde doorsnede: bijvoorbeeld neem een rechthoekige doorsnede
als we de doorsnede snijden
Ik denk dat de oppervlakte gemakkelijk kan worden berekend. Doe het zelf!