Beste antwoord
Er zijn twee manieren om te bepalen of een matrix (en daarmee het stelsel van vergelijkingen dat de matrix vertegenwoordigt ) heeft een unieke oplossing of niet.
a. De methode van Cramer.
Zet het vergelijkingssysteem om in de matrixvorm AX = B waarbij A = coëfficiëntenmatrix, X = variabelenmatrix en B = resultatenmatrix.
Noem de Co-efficiëntiematrix D. Voor een matrix van 3 x 3 vervangt u de 1e, 2e en 3e kolom van de D-matrix door de resultaten Kolommatrix om de matrices Dx, Dy en Dz te krijgen.
- Als D niet gelijk is aan 0, en als ten minste één van Dx, Dy en Dz niet gelijk is aan 0, dan is het stelsel vergelijkingen consistent en heeft het een unieke oplossing.
- Als D = 0 en als Dx, Dy en Dz = 0 maar als minstens één van de Constituenten van de Coëfficiënt matrix (aij) of minstens één van de 2 x 2 minoren niet gelijk is aan 0, dan is het stelsel vergelijkingen Consistent en heeft oneindig veel oplossingen.
- Als D = 0 en ten minste één van Dx, Dy en Dz niet nul is, dan is het stelsel van vergelijkingen inconsistent (geen oplossing).
Het stelsel van vergelijkingen levert dus alleen een unieke oplossing op als de waarde van de determinant is niet gelijk aan nul.
b. Rangmethode
Schrijf het systeem van vergelijkingen op in matrixformaat AX = B waarbij A = Co-efficiëntiematrix, X = Variabelenmatrix en B = Resultatenmatrix.
Ontdek de rangschikking van de matrix A.
Schrijf de augmented matrix op [A, B]
Ontdek de rangschikking van de augmented matrix [A, B]
- 1. Als de rangschikking van matrix A niet gelijk is aan de rangschikking van de augmented matrix, dan is het stelsel vergelijkingen inconsistent en heeft geen oplossing.
- Als de rangschikking van beide matrices gelijk is aan en gelijk is aan het aantal onbekende variabelen in het systeem en als de matrix A niet-singulier is, dan is het stelsel vergelijkingen consistent en heeft het een unieke oplossing.
- Als de rang van beide matrices gelijk is, maar als de rang lager is dan het aantal onbekenden, dan is het stelsel vergelijkingen consistent en heeft het oneindig veel oplossingen. Er zijn dus maar drie mogelijkheden: inconsistent en geen oplossing, consistent met unieke oplossing, consistent met oneindig veel oplossingen.
Dus het systeem levert een unieke oplossing alleen als de rangorde van de Co-efficiëntiematrix = Rang van de Augmented matrix = Aantal onbekenden.
Antwoord
Theorie vertelt je dat Ax = b heeft een unieke oplossing als \ det (A) \ neq0 en anders heeft het geen of oneindig veel oplossing. De matrix wordt in dat geval enkelvoud genoemd
De praktijk leert je echter dat dit bijna nooit gebeurt. Dus elke set vergelijkingen kan worden opgelost? Ja en nee. Als de matrix bijna enkelvoud is, kunt u een oplossing krijgen, maar deze heeft geen zin. De reden hiervoor is dat kleine schommelingen aan de rechterkant enorme schommelingen (met meerdere ordes van grootte) in de oplossing kunnen veroorzaken. Het systeem wordt in dat geval ziek geconditioneerd genoemd. Dit is een slechte zaak, want tijdens de berekeningen kunt u significante cijfers verliezen door het aftrekken van bijna gelijke hoeveelheden.
Hoe weet u dat? Het conditienummer \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | is de theoretische maat. De beste waarde is 1, hoe groter hoe slechter. Maar het is niet zo gemakkelijk te berekenen. Een praktische manier om dit te doen, is door een kleine willekeurige verstoring van uw rechterkant te nemen en de twee oplossingen te vergelijken. Als ze aanzienlijk verschillen, heeft u een slecht geconditioneerd systeem.