Beste antwoord
Ik begrijp dat je hier een antwoord wilt. Traditioneel is een vouw de waarde van een ding; ergo, een eenmalige toename is 100\%. Dit veroorzaakt echter verwarring, aangezien de meeste mensen een tweevoudig belang beschouwen als de dubbele waarde (200\%) van een ding – de populaire definitie. Zelfs Collins Dictionary of Mathematics definieert -fold als times , zoals in two-fold gelijk is aan two times , wat gelijk is aan dubbel. Sommige wetenschappers gebruiken fold als synoniem voor de wiskundige term keer zoals in drievoudig groter betekent driemaal groter . Anderen staan er echter op traditioneel “fold” te gebruiken om de totale waarde van een ding te beschrijven; dus “60 is één keer groter dan 30.”
Ik weet zeker dat dit het niet gemakkelijker voor u maakt om te beslissen – de populaire versie boven het meer traditionele gebruik – maar om verkeerde interpretaties te voorkomen, in het dagelijkse gebruik wil je misschien vasthouden aan de populaire definitie.
Antwoord
Interessante vraag. Laten we hem opsplitsen.
- Waarom worden determinanten berekend ?
Eerlijk gezegd is er geen enkele reden op aarde waarom je een determinant zou moeten berekenen, behalve wanneer dit wordt gevraagd in een lineaire algebratest. Determinanten worden gebruikt in het bewijs van een oplossing naar een reeks lineaire vergelijkingen van de vorm Ax = b waarin determinanten een grote rol spelen. Cramer “s regel – Wikipedia
Dit heeft menig misleide ziel tot de conclusie geleid dat deze regel een goede manier is om deze oplossing te berekenen . Het is niet zo. Laat me uitleggen waarom.
2. Waarom worden determinanten berekend op de manier waarop ze worden berekend?
Het eerste dat je leert in lineaire algebra 101 is om een determinant uit te breiden langs een rij of kolom, die recursief kan worden geformuleerd als
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
waarin A\_ {kj } is de submatrix die je krijgt door de k-de rij en de j-de kolom van A weg te gooien. Dit is OK als je matrix 3 \ times3 of 4 \ times 4 is, wordt vervelend als n = 5 en ongedaan kan worden gemaakt voor grotere n . Maar we hebben computers, nietwaar? Okee. Laten we dit wetenschappelijk doen en een operatie tellen. Laat T\_n het aantal bewerkingen zijn om op deze manier een n \ maal n determinant te berekenen. In een lineaire algebracontext is “operatie” een vermenigvuldiging gevolgd door een optelling. Dan duidelijk
T\_n = nT\_ {n-1}
Hé! Doet dit geen belletje rinkelen? Ja, dit is de facultaire functie en T\_n = n !. Als we nu een computer hadden die 10 ^ {20} bewerkingen per seconde kan uitvoeren, wat gewoon zou kunnen gebeuren als de kwantumcomputers operationeel worden en we een 100×100 determinant zouden moeten berekenen door rij- of kolomuitbreiding, dan zouden we nodig hebben
100! = 9.3326E157
bewerkingen. En 100 \ times100 is niet overdreven, industriële toepassingen lopen vaak in de miljoenen. Nu heeft een jaar 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 seconden, dus we kunnen niet meer dan 3,2E27-bewerkingen per jaar uitvoeren, wat slechts een druppel in de oceaan is van 9,3E157. Meer specifiek zouden we 3E130 jaar nodig hebben en gezien het feit dat de geschatte leeftijd van het universum 13,8E9 (6E3 als je een creationist bent) jaar is, komen we een paar jaar te kort.
Conclusie: dit is geen goede manier om een determinant te berekenen.
En om een oplossing te berekenen volgens de regel van Cramer, moet je 101 determinanten berekenen. De regel van Cramer klopt helemaal niet! Het is van theoretische, niet van praktische waarde.
Daarom zou je een LU-decompositie ( LU-decompositie – Wikipedia ) moeten gebruiken om te berekenen een determinant en als bijkomend voordeel geeft het je ook de oplossing voor je systeem Ax = b. Het aantal bewerkingen voor LU is \ frac13n ^ 3. Om daar een determinant uit te halen, vermenigvuldig je alle diagonale elementen van U. (\ cal O (n)). Om de oplossing van uw systeem te krijgen, heeft Ax = b nog een n ^ 2-bewerking nodig. Dus al met al zou dat 3.34E5-bewerkingen vereisen en we zouden in een handomdraai van 10 ^ {- 14} seconden klaar zijn.
Sheldon Axler schreef een Lineaire Algebra-tekst die geen determinanten gebruikt https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
en ik weet zeker dat Alon Amit (“matrices suck, operators rule”) het zou goedkeuren.