Beste antwoord
Ja, het is het Monty Hall-probleem in vermomming. “Omschakelen” in dat probleem is slechts een manier om te benadrukken dat de ene kans anders is dan de andere. Bij dat probleem zou je liever de deur hebben die de gastheer had kunnen openen, maar niet deed. Hier zou je liever de gevangene zijn die de bewaker had kunnen noemen, maar niet deed. Hetzelfde.
A is verkeerd. Hij denkt dat hij alleen informatie over B heeft geleerd, en niets over A of C. Maar hij heeft iets geleerd over C: de directeur had hem een naam kunnen geven, maar deed het niet t. Vanwege de muntomslag zou de directeur 50\% van de tijd dat A gratie zou hebben gekregen, C. hebben genoemd. Maar hij zou B 100\% van de tijd hebben genoemd waar C gratie zou hebben gekregen. Deze verhouding – 50\% tot 100\% – maakt het nu twee keer zo waarschijnlijk dat C gratie krijgt.
Historisch terzijde: het probleem dat u noemde was oorspronkelijk gepubliceerd in het oktobernummer (denk ik) 1959 van Scientific American door Martin Gardner. In hetzelfde nummer verontschuldigde hij zich voor het verkeerde antwoord op deze vraag:
- Mr. Smith heeft twee kinderen. Minstens een van hen is een jongen. Wat is de kans dat beide kinderen jongens zijn?
Oorspronkelijk had hij gezegd dat het antwoord 1/3 was. Maar de gestelde vraag is dubbelzinnig; het hangt ervan af hoe je hebt geleerd dat ten minste één kind een jongen was.
Als het was omdat je vroeg: “Is er tenminste één een jongen? ”, dan is 1/3 correct. Maar als het gewoon een willekeurig feit was dat je leerde, wat betekent dat je ook had kunnen leren “tenminste één is een meisje”, dan is het antwoord 1/2.
En in feite is het twee-kindprobleem slechts een variatie op het drie-gevangenenprobleem met vier gevangenen in plaats van drie, of het Monty Hall-probleem met vier deuren. Gardner stelde de Drie Gevangenen om te verduidelijken hoe deze problemen werken, en nam het deel over de muntomslag op specifiek om te laten zien hoe het proces waarmee u de informatie hebt verkregen, niet alleen de informatie, het antwoord bepaalt.
Antwoord
Het probleem van de drie gevangenen kan gemakkelijker worden begrepen als we ons houden aan voorwaardelijke waarschijnlijkheden in plaats van aan posterieure waarschijnlijkheden.
Dus drie gevangenen A, B, C zijn in de dodencel en een van hen heeft gratie gekregen op basis van een kansspel. Gevangene A vraagt de directeur om in ieder geval de naam van een van de andere gevangenen te onthullen, die geen gratie heeft gekregen.
Door deze vraag te stellen, heeft A twee groepen gecreëerd.
- Groep I – waarbij A alleen betrokken is.
- Groep II – waarbij B en C betrokken zijn.
Overeenkomend met deze twee groepen zijn er twee evenementen:
- Iemand uit groep I krijgt gratie. (A alleen).
- Iemand uit groep II krijgt gratie (B of C).
Aangezien beide deze gebeurtenissen zijn equiprobable, de waarschijnlijkheid van beide gebeurtenissen is \ frac {1} {2}. Binnen de tweede groep zijn de waarschijnlijkheden dat B of C wordt gekozen weer \ frac {1} {2}.
De directeur noemt nu B als de gevangene die geen gratie heeft ontvangen.
Aangezien de directeur niets heeft gezegd over gevangene C, betekent dit dat de kans op de tweede gebeurtenis (iemand die gratie krijgt van de groep waarbij B en C betrokken zijn) nog steeds hetzelfde is – \ frac {1} {2}.
Maar sinds B is uitgeschakeld, betekent dit dat de kans dat C gratie krijgt uit Groep II, nu is toegenomen van \ frac {1} {2} naar 1 !!! Dat is zijn kans op het verkrijgen van gratie is verdubbeld !!!
Aan de andere kant, volgens dezelfde redenering, aangezien de directeur niets heeft gezegd over gevangene A, is de kans op de eerste gebeurtenis (iemand die gratie krijgt van de eerste groep) is nog steeds hetzelfde – \ frac {1} {2}.
Dus de vraag van gevangene A geeft A geen nieuwe informatie over zijn lot. Aan de andere kant weet gevangene C (aan wie A deze informatie heeft gegeven) nu dat zijn kansen op gratie zijn verdubbeld.
Dit is alles wat je moet weten om de essentie van de drie gevangenen te begrijpen Probleem. Als u echter uw intuïtie wilt verifiëren met de formule van Bayes. U kunt dit doen zoals hieronder getoond:
Bayes-formulering van het probleem met de drie gevangenen
Laat A, B en C de gebeurtenissen zijn die overeenkomen met respectievelijk gevangenen A, B en C die worden vrijgelaten.En laat b de gebeurtenis zijn die de bewaker A vertelt dat gevangene B moet worden geëxecuteerd, dan is, gebruikmakend van de stelling van Bayes, de achterste kans dat A gratie krijgt:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
De kans op C vergiffenis ontvangen, aan de andere kant, is:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ tijden \ tfrac13} {\ tfrac12 \ tijden \ tfrac13 + 0 \ tijden \ tfrac13 + 1 \ tijden \ tfrac13} = \ tfrac23
De posterieure kans dat A gratie krijgt, blijft dus hetzelfde als de apriori-waarschijnlijkheid (\ frac {1} {3}), terwijl die van C wordt verdubbeld.
Het effect van de voorwaardelijke kansen op de posterieure kansen kun je zien in de term P (b | A) (\ frac {1} {2}) en P (C | b) (1).