Beste antwoord
Hier is hoe ik zou benaderen om met een geschatte oplossing te komen:
De waarde van x moet in het interval [-1,1] liggen, daarbuiten dat interval x ^ 2> 1 dat buiten het bereik van \ sin {x} valt. Het kan verder worden beperkt tot het interval [0,1] zoals wanneer -1 \ le x , \ sin {x} 0. Binnen het interval [0,1] bestaat er een triviale oplossing voor x = 0.
Voor x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } terwijl x ^ 2 \ sin {x} hebben, moet er minstens één oplossing in het interval (0,1] bestaan. Bovendien heeft \ sin {x} op dit interval een negatieve tweede afgeleide, terwijl x ^ 2 een positieve tweede afgeleide heeft, dus er is maximaal één oplossing in het interval (0,1]. Zodra de curve van x ^ 2 die van \ sin {x} overneemt, kan hij niet meer terug kruisen.
Er is dus precies één oplossing in (0,1]. Gebruik om die oplossing te schatten de eerste twee termen van de Taylor-reeks voor de sinusfunctie om x- \ frac {x ^ 3} {6} = te krijgen x ^ 2. Dit reduceert tot x ^ 2 + 6x-6 = 0 of x = \ sqrt {15} -3 als geschatte oplossing. Tot zes decimalen, \ sqrt {15} -3 \ ongeveer 0,872983.
Ter vergelijking: een numerieke benadering geeft de oplossing tot zes decimalen als x = 0,876726. Dus onze benadering met slechts twee termen van de Taylor-reeks was redelijk dichtbij, maar niet perfect.
Antwoord
Voor een vraag als deze is het meestal een goed idee om de functies in een grafiek te zetten om een idee te krijgen van hoe ze zich gedragen. ume je wilt antwoorden met echte getallen.
We kunnen 2x aan beide zijden optellen en vervolgens delen door 2 om x = 1.3 \ sin (x) te krijgen. De sinusfunctie is begrensd tussen -1 en 1, dus we hoeven ons alleen bezig te houden met waarden van x tussen -1,3 en 1,3. De grafiek y = x is gewoon een rechte lijn. De grafiek y = 1.3 \ sin (x) loopt schuin omhoog tussen -1.3 en 1.3, omdat 1.3 kleiner is dan een rechte hoek, en de sinus neemt toe van – \ pi / 2 naar \ pi / 2.
Als je wat calculus kent, weet je dat de snelheid waarmee 1,3 \ sin (x) toeneemt, wordt gegeven door 1,3 \ cos (x). Deze mate van verandering neemt toe en neemt vervolgens weer af (dit wordt een buigpunt genoemd). De grafiek van y = 1.3 \ sin (x) is concaaf omhoog van -1.3 naar 0 en vervolgens concaaf omhoog van 0 naar 1.3. Het is relatief eenvoudig om te zien dat x = 0 een oplossing is. Omdat de helling van y = 1.3 \ sin (x) groter is dan de helling van y = x op dat punt, kruist hij daar van onder naar boven. Nu besloot ik op dit punt de waarde van 1.3 \ sin (1.3) te berekenen. Onthoud natuurlijk dat de sinusfunctie van toepassing is op hoeken in radialen. Het is minder dan 1,3.
Op dit punt zou je de aard van de situatie kunnen afleiden. De twee functies kruisen elkaar driemaal van -1,3 tot 1,3. Noem de positieve oplossing c. Vanwege symmatrie (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) is de negatieve oplossing -c. De concaafheid van 1.3 \ sin (x) zorgt ervoor dat er geen andere oplossingen zijn. Dus het enige dat overblijft is uitzoeken wat c is.
Wat sommige studenten vreemd vinden, is dat er vaak geen gesloten vorm is voor de oplossing van een vergelijking als deze. We kunnen zien dat er een oplossing is tussen 0 en 1.3, maar ik denk dat we er in dit geval geen formule voor hebben in termen van bekende functies. Dus als je ermee wilt omgaan, moet je beslissen wat je erover moet weten.
Als je het tot op zekere hoogte wilt berekenen, zijn er een paar methoden. Er is een naïeve benadering die in dit geval werkt. Als je een waarde van x tussen 0 en 1,3 neemt, als deze kleiner is dan de oplossing, dan is 1.3 \ sin (x) groter, en als het groter is dan de oplossing, dan is 1.3 \ sin (x) kleiner. Dus als je je waarde van x blijft vervangen door 1.3 \ sin (x), dan nadert het de wortel. Dus stel dat ik begin met x = 1,0. Dan is 1.3 \ sin (1) = 1.9039 … dus gebruik dat als de waarde van x hierna. Dit proces convergeert naar de oplossing, hoewel niet erg snel omdat elke stap de waarde alleen maar iets dichter bij de oplossing brengt.
Een tweede methode is om het interval onder te verdelen. We zouden dus kunnen proberen 1.3 \ sin (1.1) en 1.3 \ sin (1.2) te evalueren om de eerste decimaal van de oplossing te krijgen. Sinds 1.3 \ sin (1.1) 1.2 lijkt het erop dat de wortel tussen 1.1 en 1.2 ligt. Dan kunnen we 1.3 \ sin (1.15) proberen om te zien of de oplossing kleiner of groter is dan 1.15. Deze methode convergeert ook niet zo snel, hoewel het goed werkt in sommige situaties waar de eerste methode dat niet doet.
Er zijn enkele andere methoden ( Root- zoekalgoritme – Wikipedia ), vooral de secansmethode en de methode van Newton. Ze convergeren sneller.
De secansmethode houdt twee benaderingen aan elke kant, bijvoorbeeld 1.1 en 1.2. Vervolgens doen we alsof de grafieken beide rechte lijnen zijn om een benaderende oplossing te krijgen. De berekening is niet zo eenvoudig, hoewel niet echt ingewikkeld.
In Newtons iteratie moet je een raaklijn naar de curve trekken om te benaderen waar de twee curven elkaar kruisen, en dan herhalen. Als u begint met een waarde die dicht genoeg bij de wortel ligt, convergeert deze over het algemeen redelijk snel.Het aantal cijfers van nauwkeurigheid verdubbelt over het algemeen bij elke stap (hoewel het onwaarschijnlijk lijkt dat iemand veel cijfers wil met precisie tot aan de wortel).