Beste antwoord
De uitdrukking in de gepost vraag is niet helemaal correct.
De binominale stelling
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
geldt voor alle complexe getallen x en y en niet-negatieve gehele getallen n .
Laat x = 1 en y = -1. Aan de rechterkant ziet u de door u gewenste afwisselende verschillen en sommen van combinaties (waarnaar u kiezen s noemde). Aan de linkerkant heb je 0 ^ n, waarvan je blijkbaar aanneemt dat het 0 is. De binominale stelling, zoals hierboven vermeld, is echter van toepassing op alle niet-negatieve gehele getallen n , inclusief 0, in welk geval de linkerkant 0 ^ 0 = 1 is – een geval dat u niet toestond.
Als je me niet gelooft, probeer dan deze triviale oefening: Schrijf de eerste paar rijen van de driehoek van Pascal op. De kies-formule in de geposte vraag is gelijk aan het aanwijzen van een willekeurige rij en, beginnend bij het meest linkse element (dat altijd 1 is, ongeacht welke rij je kiest), trek dan het volgende element naar rechts af en ga door met afwisselend optellen en aftrekken alle elementen van die rij. Merk op dat met de rij met 1 1 en de rij met 1 2 1 en de rij met 1 3 3 1 allemaal 0 opleveren bij dit proces. Wat gebeurt er echter op de bovenste rij die er maar 1 bevat? We beginnen met die 1 en bereiden ons voor om het volgende element af te trekken, maar er is geen volgend element dus we zijn al klaar met een resultaat van 1, niet 0. Het is helemaal niet nodig om de bovenste rij uit te sluiten van het concept dat de afwisselende verschillen en sommen leveren 0 ^ n op voor alle rijen.
Als je een van degenen bent die een hangup heeft over 0 ^ 0 = 1, moet je echt die hangup overwinnen, tenminste in de context van gehele exponenten. Als je 0 ^ 0 als ongedefinieerd beschouwt, gooi je net zo goed de binominale stelling en het bovenstaande bewijs weg, omdat je de binominale stelling niet zou kunnen gebruiken om (0 + y) ^ {n} en (x + 0) ^ {te evalueren. n}, ongeacht de waarde van n , omdat de laatste term in de binominale uitbreiding voor de eerste macht en de eerste term in de binominale uitbreiding voor de laatste macht beide hebben betrekking op 0 ^ 0, dus je zou die som ongedefinieerd moeten noemen en de anders totaal onnodige en dwaze uitsluiting moeten toevoegen die de binominale stelling niet van toepassing is op x = 0 en voor y = 0. U zou ook in strijd zijn met de regel voor lege producten, die aangeeft dat het product zonder factoren het multiplicatieve identiteitselement moet zijn , 1. De relatie 0! = 1 is ook belangrijk voor de binominale stelling, evenals voor vele andere plaatsen – maar met 0! men vermenigvuldigt geen factoren met elkaar beginnend bij 1, dus het is een leeg product, en het is uiteindelijk de regel voor het lege product die ons vertelt dat 0! = 1. Diezelfde regel voor een leeg product vertelt ons dat x ^ 0 = 1 voor alle complexe getallen x , en de waarde van x is niet van belang voor de regel voor lege producten, dus ja, x = 0 is net zo goed van toepassing als elke andere waarde van x —geen uitzonderingsgevallen die op enigerlei wijze gerechtvaardigd zijn.
Er zijn tal van andere redenen om 0 ^ 0 = 1 ten minste in de context van integere exponenten te beschouwen: de formule-definitie van polynomen en machtsreeksen met behulp van ∑-notatie en de manipulatie van dergelijke polynomen en machtsreeksen, verschillende combinatorische problemen en andere. Er is geen goede reden om aan te nemen dat 0 ^ 0 een andere waarde heeft dan 1 of om het als ongedefinieerd te beschouwen, althans in de context van integer exponenten.
Sommigen van jullie raken misschien een beetje verontrust over ik schrijf dit omdat het in strijd is met alles wat je is geleerd – misschien zo veel verdriet dat je het moeilijk vindt om zelfs maar na te denken over de mogelijke geldigheid van wat ik heb geschreven, en je staat op het punt een reactie te schrijven om me te vertellen waar ik het mis heb. Om te voorkomen dat je er belachelijk uitziet met foutieve opmerkingen, zal ik doorgaan en ingaan op wat ik verwacht dat er zou komen:
- “Mijn leerboek en mijn leraar zeiden dat 0 ^ 0 niet gedefinieerd is, en ze zouden niet verkeerd zijn. ” Ik haat het om het je te moeten vertellen en ervoor te zorgen dat je bubbel barst met betrekking tot je leraren en leerboeken, maar er zijn veel onderwerpen in wiskunde- (en andere vakken) leerboeken op de middelbare school die zo simpel zijn dat ze onjuist zijn. Mijn opmerkingen hier zijn niet bedoeld als een afkeuring van de wiskundeleraren op de middelbare school – ze hebben een uitdagende taak, en de meesten willen echt geweldig werk leveren en de leerlingen vooruit helpen.De meeste wiskundeleraren op de middelbare school hadden geen hoofdvak in wiskunde tijdens hun universitaire studies – de meeste hadden een hoofdvak in het onderwijs met een specialisatie in wiskunde. Ze leren hoe verschillende studenten denken, hoe ze verschillende punten op verschillende manieren kunnen uitleggen, hoe ze problemen kunnen vinden en diagnosticeren die studenten hebben met materiaal, en andere zeer waardevolle dingen die niet direct verband houden met wiskunde. Ze brengen tijd door in nepklaslokalen, maar ook in echte klaslokalen onder leiding van de eigenlijke leraar, om te oefenen. Ze krijgen veel diepgaande evaluatie van de wiskunde die ze zouden verwachten, dus op het niveau van de middelbare school. Ze zullen een paar wiskundecursussen op universitair niveau volgen in hun programma, maar lang niet zo veel of zo geavanceerd als wat een wiskunde-major zou zijn. Wiskunde majors doen dat allemaal niet, maar in hun meer geavanceerde cursussen krijgen ze meer blootstelling aan wat echte, levende, professionele wiskundigen doen, en de meeste wiskundeleraren krijgen die blootstelling niet – ze realiseren zich niet hoe wiskundigen dingen zoals natuurlijke getallen en hele getallen, beperkte blootstelling aan wiskundigen die radialen gebruiken in plaats van graden voor hoekmetingen (en het ontbreken van een eenheidssymbool voor hoeken impliceert radialen, geen graden), het niet laten doordringen in wat professionele wiskundigen beschouwen als de juiste volgorde van bewerkingen (en nee , het zijn geen PEMDAS, BODMAS,…), enz. Je wiskundeleraren leren wat het boek zegt om te onderwijzen en ze zijn zich er niet van bewust dat ze je dingen leren die in strijd zijn met wat professionele wiskundigen doen.
- Verdelingswetten van exponenten: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, wat ongedefinieerd is, dus 0 ^ 0 moet ongedefinieerd zijn omdat ze gelijk zijn. Er is een ongeldige stap uitgevoerd op de second =. Een van de delingswetten van exponenten is b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, maar het heeft enkele beperkingen om te worden gebruikt. Een daarvan is dat de toepassing van de wet op geen enkel moment een uitdrukking mag genereren die een reciproque van 0 of een deling door 0 omvat. Daarom is het gebruik van deze wet verboden wanneer b = 0, omdat het onzin genereert – en dat is de onzin waarvan u gebruik wilt maken om uw punt te “bewijzen”. Sorry, maar om een punt te bewijzen: u kunt geen gebruik maken van iets dat zoveel onzin is dat het ongeldig is. Ongeldige stappen vormen een mislukt bewijs. Schrijf ook dingen als a = b = c waarbij c ongedefinieerd is, is ongeldig – a en b is misschien wel of niet geldig. Er mag geen gebruik worden gemaakt van vergelijkingen als ten minste een van de zijden niet gedefinieerd of anderszins ongeldig is. Je mag zelfs niet concluderen dat 1/0 = 1/0, omdat beide kanten niet gedefinieerd zijn, dus je kunt niet zeggen dat ze gelijk zijn – hoe zou je kunnen weten dat twee dingen gelijk zijn als je niet eens een idee hebt wat die twee dingen zijn? gemiddelde (en je kunt er geen idee van hebben omdat ze geen definitie hebben).
- “0 ^ 0 is een onbepaalde vorm, dus het kan geen waarde hebben – mijn calculus-leerboek zegt het.” Het concept van onbepaalde vormen is heel reëel en bruikbaar zolang je het binnen de bedoelde context houdt. Onbepaalde formulieren zijn alleen van toepassing in de context van limieten – dat je niet naar die vorm kunt kijken om te bepalen of er een limiet bestaat en, zo ja, wat die limietwaarde is. Het schrijven van 0 ^ 0 verwijst naar wat de waarde is van f (x, y) = x ^ y om (x, y) = (0, 0) – niet wat is de limiet als x en y onafhankelijk van elkaar 0 benaderen. Er kan een limiet bestaan, maar de functie is daar niet gedefinieerd; een functie kan daar worden gedefinieerd, maar de limiet bestaat niet. De twee concepten hebben niets met elkaar te maken, behalve wanneer een of beide (definiërende waarde en grenswaarde) falen, de functie op dat punt niet continu is. Zeggen dat een limiet de vorm 0 ^ 0 aanneemt, betekent dat je aan de hand van die informatie alleen niet kunt zien of de limiet bestaat en wat de waarde ervan is. Dat feit heeft niets te maken met het feit of 0 ^ 0 = 1 of niet gedefinieerd is. Zeggen 0 ^ 0 = 1 betekent niet dat een limiet die de vorm 0 ^ 0 aanneemt, de waarde 1 moet hebben.
- 0 ^ y = 0 voor alle positieve y en x ^ 0 = 1 voor alle niet-nul x . (Veel mensen die dit argument gebruiken, vergeten dat y niet negatief mag zijn en behandel de twee gevallen als symmetrisch.) Als u beide door 0 vervangt x en y , in het ene geval 0 ^ 0 = 0 en het andere geval 0 ^ 0 = 1 – een tegenstrijdigheid , dus het kan niet worden gedefinieerd. Goed, laten we even kijken. Er zijn twee nummers waarvan het kwadraat 9 is: +3 en −3; dus de vierkantswortel van 9 is +3 maar de vierkantswortel van 9 is −3. O, we hebben een tegenstrijdigheid, dus er mag niet zoiets zijn als de vierkantswortel van 9 – die moet ongedefinieerd zijn.Nee, +3 is een nuttiger antwoord dan −3, dus we definiëren √9 = 3. Het feit dat x ^ 0 = 1 niet alleen voor alle niet-nul echte x maar ook voor alle niet-nul complexe x en zelfs alle niet-nul quaternions x ; aan de andere kant werkt 0 ^ y alleen op een eenvoudige manier voor positieve reële x – geen negatieve reële waarden, niet denkbeeldig, dus is het niet logischer om gaan voor de definitie die maar één hole heeft in plaats van serieus een optie te overwegen die een ontelbaar aantal holes heeft ? Het resultaat van 1 is veel, veel, veel nuttiger dan 0 voor 0 ^ 0. Als we bereid zijn om de vierkantswortel van 9 +3 te noemen als er veel minder reden voor voorkeur is, hoeveel te meer noemen we dan 0 ^ 0 = 1, als er een zeer sterke reden is voor voorkeur. De lege-productregel verplicht de keuze van 1 en niet 0. Veel praktische toepassingen vinden 1 een buitengewoon nuttig resultaat, terwijl 0 of ongedefinieerd problematische resultaten zouden zijn. Geen enkele zinvolle toepassing heeft 0 een nuttig resultaat, dus kiezen we 1.
Antwoord
\ text {Volgens de binominale stelling}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {A = 1 en x vervangen door – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ impliceert 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}