Beste antwoord
Als ik dit in mijn rekenmachine probeer in te pluggen, krijg ik iets in wetenschappelijke notatie, omdat het antwoord te groot is voor de rekenmachine om weer te geven. In de praktijk zal de rekenmachine me het begin van het getal laten zien, en ik geef alleen om het einde van het getal.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Ik weet dat een getal een nul krijgt aan het einde ervan als het getal 10 als factor heeft. 10 is bijvoorbeeld een factor 50, 120 en 1234567890. Dus ik moet uitzoeken hoe elke keer 10 een factor is in de uitbreiding van 200 !.
Maar sinds 5 × 2 = 10, ik moet rekening houden met alle producten van 5 en 2. Als we kijken naar de factoren in de bovenstaande uitbreiding, zijn er veel meer getallen die veelvouden zijn van
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
dan zijn veelvouden van
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Tenminste, als ik alle getallen met 5 als factor, ik zal veel meer dan genoeg even getallen hebben om met hen te paren om factoren van 10 te krijgen (en nog een nulpunt op mijn faculteit). Dus om het aantal keer 10 te vinden is een factor, het enige waar ik me echt zorgen over moet maken, is hoe vaak 5 een factor is in alle getallen tussen 1 en 200.
Oké, hoeveel veelvouden van 5 zijn er in de cijfers van 1 tot 200? Er zijn 5, 10, 15, 20, 25, …
Oh, heck; laten we dit op de korte manier doen: 200 ÷ 5 = 40 , dus er zijn veertig veelvouden van 5 tussen 1 en 200.
Dus, zal het antwoord 40 zijn .
Maar wacht: 25 is 5 × 5, dus elk veelvoud van 25 heeft een extra factor van 5 waarvoor ik verantwoording moet afleggen. Hoeveel veelvouden van 25 zijn tussen 1 en 200?
Sinds 200 ÷ 25 = 8 , er zijn acht veelvouden van 25 tussen 1 en 200.
En wacht even, er is ook 125, dat is 5x5x5. We moeten dus 1 optellen bij het aantal nullen.
Dus nu is het totale aantal nullen = 40 + 8 + 1, betekent 49.
Dus in 200! er zijn 49 volgnullen. En controleer het niet met een rekenmachine, aangezien de rekenmachine dit niet kan.
Antwoord
Nullen aan het einde zijn een reeks 0 “s in de decimale weergave van een getal, na waar geen andere cijfers volgen. Het kan op twee manieren worden opgelost:
- Laten we eens kijken hoe nullen aan het einde in de eerste plaats worden gevormd. Een volgnul wordt gevormd wanneer een veelvoud van 5 wordt vermenigvuldigd met een veelvoud van 2. Nu hoeven we alleen nog het aantal 5-en en 2-en in de vermenigvuldiging te tellen.
Elk paar 2 en 5 zal een volgnul veroorzaken. Omdat we slechts 24 5-en hebben, kunnen we maar 24 paren 2-en en 5-en maken, dus het aantal volgnullen in 100 faculteiten is 24 .
2. De vraag kan ook worden beantwoord met de onderstaande eenvoudige formule:
De bovenstaande formule geeft ons het exacte aantal 5s in n! omdat het voor alle veelvouden van 5 w zorgt die zijn minder dan n. Niet alleen dat het zorgt voor alle veelvouden van 25, 125, enz. (Hogere machten van 5).
Tip: In plaats van te delen door 25, 125, etc. (hogere machten van 5); het zou veel sneller zijn als je recursief door 5 deelt.
Laten we dit gebruiken om een paar voorbeelden op te lossen:
Q) Wat is het aantal volgnullen in 100! ?
[100/5] = 20
Nu kunnen we ofwel 100 delen door 25 of het resultaat in de bovenstaande stap, dwz 20 door 5.
[ 20/5] = 4. Het is minder dan 5, dus we stoppen hier.
Het antwoord is – 20+ 4 = 24 (direct antwoord in slechts enkele seconden)
Q) Wat is het aantal volgnullen in 200! ?
[200/5] = 40
Nu kunnen we ofwel 200 delen door 25 of het resultaat in de bovenstaande stap, dwz 40 door 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Het is minder dan 5, dus we stoppen hier.
Het antwoord is – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Wat is het aantal volgnullen in 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Het is minder dan 5, dus we stoppen hier.
Het antwoord is – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Als je vragen hebt, stel ze dan gerust in het commentaargedeelte.