Beste antwoord
Ah! Dit is een aardige observatie, en wat het ons leert, is dat getallenstelsels met plaatswaarden het mogelijk maken dat sommige getallen meerdere representaties hebben met verschillende cijfers.
Ik stel voor dat je probeert het verschil te vinden tussen de twee numerieke uitdrukkingen ( dat wil zeggen, laat zien dat er een getal tussen staat).
Je kunt het “niet echt op de gebruikelijke manier doen, omdat er geen laatste 9 cijfer is om te beginnen met het aftrekken van het minst significante cijfer , is er? Dat komt omdat ze eeuwig doorgaan.
In wezen kun je echter beginnen met het meest significante cijfer en het aan de rechterkant blijven uitlenen in plaats van lenen aan de linkerkant.
Dus als we naar de eerste paar cijfers kijken, hebben we
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
“Lenen” aan de rechterkant betekent dat het eenentiende deel van het bovenste getal tien tienden is (wat het is!). Door negen tienden af te trekken, wordt een tiende overgelaten. Maar we kunnen dat dan aan de rechterkant “uitlenen” als tien honderdsten, en daar negen honderdsten van aftrekken, en voor onbepaalde tijd doorgaan.
En dit gaat voor onbepaalde tijd door. Er is geen plaats waar het proces stopt en een 1-cijfer achterlaat, omdat (in zekere zin) te voltooien dit (oneindige) proces zou alleen nullen achterlaten terwijl het “helemaal” naar rechts vorderde.
Er zijn andere – meer rigoureuze en elegantere – manieren om te bewijzen dat 0. \ punt {9} = 1.
Een andere manier om erover na te denken, is door de last af te werpen die de decimaal b is ase-systeem (basis tien) en tel in ternair (basis drie). Ternair is het systeem waarin we 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ punten tellen. Getallen in ternair hebben geen decimale punten maar ternaire punten. In ternair hebben we \ frac {1} {3} = 0.1, en \ frac {2} {3} = 0.2.
Maar dan is de breuk \ frac {1} {2} = 0. \ punt {1} eindigt niet! Om nog maar te zwijgen van het feit dat ternair de niet-herhalende 0. \ punt {2} = 1 is, want dat is precies het dubbele van de vorige uitdrukking (als je de rechter- en linkerkant van de gelijkheid verwisselt, moet dat zo zijn).
Dit is het geweldige en krachtige van gelijkheid. Omdat we weten dat in basis tien \ frac {1} {3} = 0. \ punt {3}, dan \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ punt {9}, bewijst dat hetzelfde nummer kan hebben meerdere representaties in hetzelfde numerieke systeem met plaatswaarde.
De moraal van het verhaal is om te voorkomen dat je verstrikt raakt in wat we dingen noemen, maar concentreer je in plaats daarvan op wat ze zijn en wat ze doen .
Antwoord
Ja, één gedeeld door drie is mogelijk in de velden Reële of Rationale getallen, en het is gelijk aan een derde.
Het is niet mogelijk om een derde weer te geven met een eindige decimale positienotatie. Als je een oneindige weergave wilt gebruiken, zoals geïmpliceerd door de punten in 0.333 \ dotsc, kun je beter een formele manier hebben om te zeggen wat het betekent. Wiskundigen hebben zon formele specificatie, limieten genaamd, waarin 0.999 \ dotsc = 1.
Merk op dat de decimale representatie van een getal is niet het nummer zelf. Net zoals je niet je naam bent, of je bijnaam, of een van je vele IDs. Getallen hebben veel representaties, waaronder veel verschillende bases, woorden, uitdrukkingen, enzovoort. De representaties voor een derde zijn:
- 0.333 \ dotsc (decimaal)
- 0.1\_3 (ternair)
- \ frac13
- 20 “(minuten – een derde van een uur)
- 120 ° (graden – een derde van een cirkel)
- \ frac26
enzovoort.
Het feitelijke getal een derde zelf blijft afzijdig van al deze representaties. Het wordt gedefinieerd door de eigenschap dat het één is gedeeld met drie. Met andere woorden, het is dat getal dat één oplevert wanneer vermenigvuldigd met drie. Al het andere is slechts een tussentijdse notatie die, zoals je hebt opgemerkt, een beetje onhandig is in decimalen.