Beste antwoord
Er is echt geen algemene definitie van ruimte in wiskunde. Bijna elk object dat we visueel kunnen bedenken, kan een ruimte worden genoemd. Metrische ruimten, verdeelblokken, Hilbertruimten, orbifolds, schemas, meetruimten, waarschijnlijkheidsruimten en modulistapels zijn allemaal dingen die we spaties noemen.
Het dichtst bij een algemene definitie van ruimte is waarschijnlijkheid, het begrip a topologische ruimte. Metrische ruimtes, variëteiten, Hilbertruimtes, orbifolds en schemas zijn bijvoorbeeld allemaal topologische ruimtes met een beetje meer structuur.
Een topologische ruimte bestaat uit een set punten, X en een verzameling subsets van X die we open noemen, onder de voorwaarden dat
- De lege set en X zelf open zijn,
- Elke combinatie van open sets is open,
- En de kruising van een paar open sets is open.
De open sets zouden moeten zijn als de open subsets van \ mathbb {R}. Met het risico vaag te zijn, beschouwen we de open sets als die subsets U van X zodat elk punt van U een klein beetje kan worden verplaatst zonder U te verlaten. Dit is letterlijk het geval voor \ mathbb {R}, aangezien de open sets daar zijn gedefinieerd als de subsets U zodat voor alle x \ in U er een \ epsilon> 0 is zodat (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ subset U (dwz x verplaatsen met minder dan \ epsilon zal niet resulteren in een punt buiten U).
Het blijkt dat deze minimale hoeveelheid informatie – een set punten en een verzameling open subsets – voldoende is om te bepalen of functies continu zijn. Dit maakt topologische ruimtes echt nuttig.
Aan de andere kant is niet elke ruimte in de wiskunde een topologische ruimte, of zelfs, zoals anderen hebben geantwoord, een reeks punten met wat extra structuur. Dit was iets dat ik een paar semesters geleden verbaasde om te leren.
Het tegenvoorbeeld dat ik in gedachten heb, is het idee van een modulistapel, die (dit wordt raar!) Een bepaald soort functor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, waarbij de voorimage van elk object D van \ mathcal {D} wordt gezien als de verzameling continue functies van D naar de ruimte die F hoort te vertegenwoordigen.
Hoe is dit in vredesnaam een ruimte? Om enige intuïtie te krijgen, beschouw de verzameling continue functies van een ruimte bestaande uit een enkel punt naar een topologische ruimte, X. Voor elk punt p \ in X krijgen we een functie die het enkele punt naar p brengt. In die zin beschrijft de reeks continue functies van een punt tot X de punten van X.Als we functies beschouwen van iets mooiers, bijvoorbeeld een lijnstuk, in X beginnen we een idee te krijgen van hoe de punten van X gerelateerd zijn aan elkaar – welke kunnen met elkaar worden verbonden door een pad, welke zijn dichtbij en welke zijn ver van elkaar verwijderd, enzovoort. Door alle mogelijke sets functies in X te beschouwen, kunnen we eigenlijk precies afleiden wat X is. Dit is een idee met de naam Yoneda Lemma . Het idee van een modulistapel is om dit als een metafoor te gebruiken: elke functor die ‘eruit ziet als’ functies beschrijft in een topologische ruimte, kan worden gebruikt om een ‘ruimte’ te definiëren.
Wat ik wil benadrukken is dit: er zijn veel soorten ruimtes in de wiskunde, maar als je een fundamenteel idee wilt krijgen van wat een ruimte is, moet je topologische ruimtes bestuderen. Dat gezegd hebbende, dingen worden raar!
Antwoord
Ruimte zelf heeft niet echt een formele definitie. Het is bijna een wiskundige versie van het woord ding. Misschien is een dichter synoniem ‘set’, maar het woord ‘ruimte’ impliceert dat er een extra ingrediënt is … wat structuur … dat ook een rol speelt. Anders zouden ze “gewoon het woord” set “gebruiken.
Verschillende soorten spaties hebben definities. Een vectorruimte is een set vectoren die bepaalde regels volgen. Een topologische ruimte is een set samen met een speciale verzameling subsets die voldoen aan bepaalde regels. Een metrische spatie is een set samen met een geschikte formule die u de afstand tussen punten in de set vertelt. Vaak hebben de speciale typen spaties beschrijvende namen zoals deze.
Andere soorten ruimtes zijn vernoemd naar mensen die ze hebben bestudeerd. Banachruimtes, Hilbertruimtes, Sobolev-ruimtes … dit zijn allemaal speciale soorten vectorruimtes met een beetje extra structuur dat maakt ze op hun eigen manier interessant en zijn vernoemd naar mensen die belangrijk waren bij het ontwikkelen van dat verhaal.