Beste antwoord
Je vraag wekte mijn interesse omdat ik er een is die ik me herinner om op te lossen als kind, lijnen te tekenen in het zand op een strand. Ah, jeugdherinneringen. Maar hoe dan ook …
Ik ga ervan uit dat je dezelfde vraag stelt die ik toen stelde : 4×4 Tic-Tac-Toe (of “Noughts and Crosses”, zoals we het noemen) vereist dat een speler vier op een rij krijgt, 5×5 vereist 5 op een rij, enz. Zoals mij duidelijk werd op het strand, hoewel ik kon het niet “bewijzen”, winnen wordt steeds moeilijker, dus het is geen verrassing dat de spellen ook worden getrokken. Het heeft dus niet al te veel zin om over een voorkeursstrategie te praten, aangezien er geen winnende strategie bestaat. Het is duidelijk dat het proberen om het centrum te beheersen over het algemeen een dominante benadering is, aangezien het de bijdragen aan mogelijke winnende rijen verhoogt, maar zelfs tegen een “suboptimale” verdediging is de trekkingsmarge vrij hoog. Daarmee bedoel ik dat de tweede speler een aantal idiote zetten kan spelen en toch de remise kan veiligstellen met daaropvolgend geforceerd spel.
Maar laten we de dingen interessanter maken. Hoe zit het met drie op een rij op een 4×4 bord? Met nog een paar lijnen en wat meer zand, kunnen we snel uitrekenen dat de eerste speler een gedwongen overwinning heeft. Plaats je eerste kruis in een van de vier centrale vierkanten en je tweede zet in een aangrenzende centrale vierkant. (Als je de keuze hebt uit twee, kies dan degene die je twee kruisen verbindt met een anders lege rij.) En de volgende zet: je wint!
Goed nieuws, maar aan de andere kant, als breiden we de winnende vereiste uit tot vier op een rij, het spel is gemakkelijk te tekenen. Probeer het zelf (zoek een strand en een stok).
Dus dan is de voor de hand liggende volgende vraag: wat is de resultaat van een spel waarin men k op een rij moet krijgen op een m x n board, waarvan we aannemen dat k m n . Nu worden dingen echt interessant! Het blijkt bijvoorbeeld dat vier op een rij gelijk is, zelfs op 5×5, maar een overwinning op 5×6, terwijl vijf op een rij een overwinning is op 15×15 (!!) of groter.
Voor meer informatie over gegeneraliseerde boter-kaas-en-eieren, zie dit uitstekende artikel: Algemene boter-kaas-en-eieren