Beste antwoord
3n + 3n + 1 + 3n + 2 = 9n + 3 = 3 (n + 1)
3m + 1 + 3m + 2 + 3m + 3 = 9m + 6 = 3 (m + 2)
3k + 2 + 3k + 3 + 3k + 4 = 9k + 9 = 9 (k + 1)
In feite krijg je 3 getallen die precies zijn:
1 van 0mod3, 1 van 1mod3 en 1 van 2mod3
( maar in willekeurige volgorde)
En 3 deelt de rest die hier wordt gegenereerd
als je n opeenvolgende gehele getallen hebt, dan heb je alle overige gevallen voor n (0 tot en met n-1) PRECIES toegewezen een keer (en dus uniek onder elk opeenvolgend geheel getal) en deze eigenschap is universeel voor alle natuurlijke getallen n,
maar 3 deelt toevallig 0 + 1 + 2, wat de som is van de overige gevallen. U ziet dat 4 niet 0 + 1 + 2 + 3 = 6 deelt, maar 5 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 deelt, maar 6 niet 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 deelt … Dus dit deel is duidelijk niet universeel voor alle n.
Deze truc werkt toevallig voor 3 (zoals 5) omdat x | Σr met r van 1 tot x-1 voor x = 3 (ook x = 5), ga dan naar de bovenkant van dit antwoord om te zien waarom alleen de overblijfselen ertoe doen en niet hoe vaak de getallen deelbaar zijn door 3 😃!
Maar het kortste bewijs dat niet geeft om waarom we komen er zo vaak als dat we er komen ”zou zijn:
x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 3 (x + 1)
Antwoord
Waarom is de som van drie opeenvolgende gehele getallen altijd een veelvoud van 3? Hoe bewijs je dit met algebraïsche uitdrukkingen?
Laat de gehele getallen k \ text {,} \ text {} k + 1 \ spatie \ tekst {en} \ text {} k + 2 waarbij k ook een geheel getal is.
Voeg ze toe: k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3 (k + 1) \ text {.}
\ dus \ text {} deze som is een veelvoud van 3 \ text {.}