Beste antwoord
Per definitie zijn er 360 graden in een volledige rotatie; dus 45 graden is de helft van de helft van een halve volledige rotatie, dat wil zeggen 1/8 van een volledige rotatie.
Neem een vierkant en trek lijnen vanuit het midden naar de hoeken en naar de middelpunten van elke zijde. Dit plaatst acht gelijke hoeken rond het midden; dus die hoeken zijn allemaal 45 graden.
We kunnen ook zien dat we rechthoekige driehoeken krijgen voor elk van deze, waarbij in elk geval beide benen van deze rechthoekige driehoeken gelijk zijn (half zo groot als een zijde van het plein). De raaklijn (in de zin van het tegenoverliggende been / aangrenzende been) van 45 graden is dus 1.
Antwoord
“ Wat is tan (45)? ”
If x is een rationaal getal dat niet nul is, dan is tan x irrationeel (bewezen door Lambert, 1761). Ik weet niet of er enig bewijs is ontwikkeld dan tan x transcendentaal moet zijn, hoewel er zon bewijs is voor sinus en cosinus.)
Nu is 45 een rationaal getal dat niet nul is, dus tan 45 moet irrationeel zijn.
De eenvoudigste vorm van exacte uitdrukking voor deze waarde is tan 45. Je kunt het niet eenvoudiger uitdrukken en de uitdrukking laten vertegenwoordigen precies bruin 45.
Als u geïnteresseerd bent in een numerieke benadering om een goed idee te krijgen van de grootte en het teken van het getal, have: tan 45 = 1,619 775 190 543 861549 982 796 517….
Voor degenen die in hun antwoorden ten onrechte beweren dat tan 45 = 1, je hebt de stelling geschonden waarnaar ik in het begin verwees. Je hebt de stelling geschonden door een dergelijke verklaring af te leggen, en omdat stellingen bewijs van hun juistheid vereisen, betekent elke schending van een stelling dat er iets verkeerd is gedaan. In dit geval gaat de fout er van uit dat tan 45 tan 45 ° betekent. Als je de tangens (van sinus, cosinus, cotangens, secans of cosecans van een hoek van een bepaald aantal graden wilt) en je wilt gebruik maken van dat getal, dan is het verplicht dat u het ° -symbool gebruikt of dat getal vermenigvuldigt met π / 180. Het argument van de tangensfunctie hoeft niets met hoeken te maken te hebben – het mag elk reëel getal zijn (behalve wanneer singulariteiten worden gegenereerd zoals als π / 2) met een willekeurige betekenis. Hoeken komen in feite overeen met reële getallen – dit geldt niet voor lengtes, tijdsduur, enz., maar hoeken hebben deze speciale eigenschap. Hoeken zijn eigenlijk dimensieloze grootheden, wat betekent dat ze worden uitgedrukt als eenvoudige getallen. Nu bestaan er verschillende eenheidsnamen voor hoeken, omdat het vaak handig is om gemakkelijk naar hoeken van verschillende groottes te verwijzen. Elke naam van een hoekeenheid (halve cirkel, radialen, graden, boogminuten, boogseconde, enz.) komt overeen met een numerieke waarde. Het blijkt dat als je een cirkel met een straal van 3 m en een boog van die cirkel met een lengte van 6 m, de ingesloten hoek is (6 m) / (3 m) = 2 (erop wijzend dat de meters in de teller en de noemer elkaar opheffen en slechts een getal opleveren ), maar 2 van wat. De definitie van een radiaal is die hoek zodat de booglengte en cirkelradius gelijk zijn, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Dus rad = 1/1 = 1. Omdat rad = 1, we kan 2 rad = 2 × 1 = 2 schrijven, dus het expliciet schrijven van rad bij het uitdrukken van de waarde van een hoek is optioneel. Soms is het erg handig om dubbelzinnigheid te vermijden (zoals het onderscheiden van een hoekfrequentie van 1 rad / s versus een cyclische frequentie van 1 [cyclus] / s = 1 Hz), en we zullen erop aandringen om de rad op te nemen voor duidelijke communicatie, ook al is deze is nominaal optioneel; in andere gevallen is er geen dubbelzinnigheid en is het prima om de rad weg te laten.
Nu, 180 ° = π rad, twee verschillende uitdrukkingen die verwijzen naar de hoek van een halfronde boog. Als we door zijden van de vergelijking delen door 180, zien we: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, aangezien rad = 1. Met andere woorden, de graad is ook gewoon een getal, maar de waarde is niet 1; daarom kunnen we niet geldig 45 ° = 45 schrijven en het ° -symbool gewoon terloops laten vallen. Omdat ° het getal π / 180 voorstelt, betekent dat 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, wat betekent dat wanneer u de betekenis van ° toepast, u een ander getal krijgt: een getal dat overeenkomt met het getal van radialen, dus u converteert impliciet van graden naar radialen. Als u slechts 45 schrijft, is dat gelijk aan 45 × 1 = 45 rad, en kan niet betekenen 45 °. Als u hoeken en hun numerieke waarden op deze manier niet begrijpt, kunnen we dingen als de afgeleide van sin x niet doen met betrekking tot x is cos x ; de uitdrukking zou nogal rommeliger moeten zijn – ongewenst rommeliger. Er gebeuren te veel tegenstrijdigheden en andere rare dingen als u probeert te doen alsof de hoekeenheid een numerieke waarde 1 heeft, zodat u deze vrij kunt opnemen of vermijden.
Helaas gedragen de meer algemeen gebruikte meetkundeboeken op middelbare scholen zich allemaal lui en leren ze leerlingen ongepast lui te zijn – zonder de moeite te nemen om de meeteenheden op te schrijven als ze graden zijn. Deze fout wordt meestal gecorrigeerd in meer geavanceerde algebra- of trigonometrische leerboeken, waar ° altijd wordt geschreven wanneer graden bedoeld zijn, en wanneer eenheden worden weggelaten, zijn altijd radialen bedoeld, wat overeenkomt met de standaardpraktijk van professionele wiskundigen en natuurkundigen. Ik weet niet waarom de meetkundeboeken erop staan een onaanvaardbare kortere weg te nemen in strijd met de standaard beroepspraktijk, omdat de docenten en studenten gefrustreerd raken in latere cursussen wanneer ze moeten lesgeven en leren dat het ° -symbool noodzakelijk is.