Beste antwoord
De definitie van traceren als de som van de diagonale ingangen van een matrix is gemakkelijk te leren en gemakkelijk te begrijpen. Het heeft echter geen “t (a priori) een aardige geometrische of andere interpretatie — het ziet er gewoon uit als een rekenhulpmiddel. Aanvallen vanuit dit perspectief betekent in feite dat je vastzit aan rekenkundige bewijzen van feiten zoals tr (AB) = tr (BA).
Ze zijn per se “t slecht . Ze zijn gemakkelijk te begrijpen, en zeker wat er moet worden getoond als iemand in eerste instantie lineaire algebra leert. Er is een diepere reden waarom tr (AB) = tr (BA), maar het is behoorlijk abstract en vereist in het bijzonder het tensorproduct om het te begrijpen.
Beschouw de ruimte van lineaire operatoren uit een vectoren spatie V terug naar zichzelf. Als we een bepaalde set coördinaten kiezen, zien dergelijke operatoren eruit als vierkante matrices. We zullen echter proberen coördinaten zoveel mogelijk te vermijden.
We duiden met V ^ * de dubbele ruimte van V aan, die de ruimte van lineaire functionalen op V — dat wil zeggen, lineaire afbeeldingen \ lambda zodat als we een vector v inpluggen, \ lambda (v) een scalair is.
Als we dan het tensorproduct V ^ * \ otimes V nemen, is het isomorf met de ruimte van lineaire operatoren V \ rightarrow V. Het isomorfisme werkt als volgt: als w \ in V, dan (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.
We kunnen ook uitzoeken hoe compositie verloopt onder dit isomorfisme– – herinner eraan dat het samenstellen van lineaire afbeeldingen precies hetzelfde is als het vermenigvuldigen van de overeenkomstige matrices.
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2
vandaar
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)
Hoe werkt de trace binnengekomen? Welnu, er is een natuurlijke kaart van V ^ * \ otimes V naar het scalaire veld die als volgt werkt: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Het verbazingwekkende is dat, als je alles in coördinaten uitwerkt, dit het spoor is.
Dit toont aan dat het spoor, verre van een abstract rekenhulpmiddel te zijn, in feite een fundamentele en natuurlijke kaart is in lineaire algebra . In het bijzonder geeft de bovenstaande analyse automatisch een bewijs dat tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).
Maar waarom is de sterkere uitspraak tr (AB) = tr ( BA) waar? Laten we ze allebei berekenen.
tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)
Aan de andere kant:
tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)
Ah , dus AB komt op de ene manier overeen met het koppelen van \ lambda\_1, \ lambda\_2 en v\_1, v\_2, en BA komt overeen met het koppelen op de andere manier, maar zodra we de trace nemen, worden ze gekoppeld nogmaals , en op dat moment is er geen verschil meer.
Prachtig.
Antwoord
Het bewijs van \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) is een eenvoudige berekening:
\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =
= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).
Ik “weet niet zeker of dit het” waarom “-gedeelte van de vraag beantwoordt, in de zin van” Ja, Ik zie dat de berekening werkt, maar waarom ? “.
Het is vaak niet mogelijk om uit te leggen “waarom” iets waar is. Hier is het misschien nuttig om op te merken dat AB en BA in feite veel meer delen dan het spoor: ze hebben dezelfde karakteristieke polynoom .
Een andere nuttige observatie is dat als A of B niet-singulier (inverteerbaar) zijn, AB en BA vergelijkbare matrices zijn, simpelweg omdat
AB = B ^ {- 1} (BA ) B.
Vergelijkbare matrices hebben duidelijk dezelfde eigenwaarden, dus in het bijzonder hebben ze hetzelfde spoor. We kunnen argumenteren door continuïteit (voor velden waar dit zinvol is) om te concluderen dat hetzelfde geldt, zelfs in het enkelvoudige geval.