Beste antwoord
Vanwege de definities van \ sin x, \ cos x en \ tan x.
In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek x hebben we de trig-verhoudingen als volgt gedefinieerd:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {tegenover}} {\ text {hypotenusa} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {aangrenzende}} {\ text {hypotenuse}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {tegenover }} {\ text {aangrenzende}}
Hieruit krijgen we de afkorting SOH-CAH-TOA
Hoe dan ook, als we de uitdrukking voor \ tan x nemen en teller en noemer delen door \ text {hypotenusa} krijgen we:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {tegenover} / \ text {hypotenusa}} {\ text {aangrenzende} / \ text {hypotenusa}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Antwoord
Laten we beginnen met een plaatje (credit: Right Triangle – van Wolfram MathWorld )
We zullen ons concentreren op de linker, maar de rechter twee zijn erg belangrijk in trigonometrie.
Ik zal de con gebruiken Let erop dat de hoek tegenover zijde a \ alpha is en de hoek tegenover zijde b \ beta.
Recall: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Laten we nu sinus delen door cosinus:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. We kunnen hetzelfde doen met \ beta. Over het algemeen kunnen we dezelfde truc doen met elke rechthoekige driehoek, dus het moet een intrinsieke eigenschap zijn van de trigonometrische functies. We weten wat sinus en cosinus zijn vanwege hoe we ze hebben gedefinieerd, als die specifieke verhoudingen.