Beste antwoord
Voordat ik de vraag beantwoord, maak ik mijn aannames en conventies. Met een getal bedoel ik een reëel getal. We zullen eigenschappen van het veld van reële getallen gebruiken, zoals distributiviteit, additieve identiteit enz. Laten we een paar termen definiëren:
- a is negatief als a .
- -a geeft een additieve inverse van a aan.
- ab betekent a + (- b).
Laat a en b twee negatieve getallen zijn. Dat is
a en b .
Dan betekent a \ a + (- a) + (- a) \ impliceert 0 <-a of -a> 0.
Evenzo kunnen we aantonen dat -b> 0. Daarom
(-a) (- b)> 0. (- a) \; \; \; \; … \; \; \; \; (1)
Ook
0 + 0 = 0 \ impliceert a. (0 + 0) = a.0 \ impliceert a.0 + a.0 = a.0 \ impliceert a.0 = 0
Evenzo, (-a) .0 = 0
Daarom, a.0 = (- a) .0 = 0 \;… \; (2)
Van (1) en (2),
(-a). (- b)> 0 \; \; \; \; … \; \; \; (3)
We hebben
(-a). (- b) + (- a) .b = (- a). (- b + b)
= (- a) .0 = 0 Van (1) en (2)
\ impliceert (-a). (- b) = – (- a) .b \; \; \; \;… \; \; \; \; (4)
Verder
(-a) .b + ab = (- a + a) .b = 0. b = 0 \ impliceert ab = – (- a) .b \; \; \; \;… \; \; \; \; (5)
Van (3), (4) en (5) we hebben
ab = (- a) (- b)> 0.
Wat moest worden bewezen.
Antwoord
Waarom krijg je een positief getal als je twee negatieve getallen vermenigvuldigt? Ik weet dat het de waarheid is, maar waarom? Kan iemand het bewijzen?
Het is echt een definitie. Toen negatieve getallen werden uitgevonden, moest optellen en vermenigvuldigen worden gedefinieerd.
Een motivatie is gebaseerd op toepassingen en je merkt dat de gebruikelijke definities precies zijn wat je nodig hebt. Een sneltrein rijdt bijvoorbeeld naar het noorden door een station met 160 km / u. U kunt uitrekenen hoe ver het noorden van het station is in 5 minuten (positief keer positief) of waar het 5 minuten geleden was (negatief keer positief). Een andere trein rijdt met 160 km / u naar het zuiden. Door afstanden ten zuiden van het station als negatief te beschouwen, zijn de borden voor snelheden en afstanden het omgekeerde van die voor de andere trein. Hieruit zou je moeten kunnen zien hoe de regels voor tekens werken.
De andere motivatie is eenvoud (wat gedeeltelijk verklaart waarom de definities nuttig zijn in applicaties). Het is het eenvoudigst als de wetten die voor positieve getallen werken, ook voor negatieve getallen blijven werken.
Een wet is de distributieve wet a (b + c) = ab + ac.
If c = -b dit geeft 0 = a (bb) = a (b + -b) = ab + a (-b).
Dus, welke waarde a ook heeft, – (ab) moet gelijk zijn aan a (-b).
Als a en b positief zijn, geeft dit de regel dat een negatief maal een positief negatief is.
Ik vertrek als een oefening om te zien wat gebeurt als a negatief is in het bovenstaande. Je hebt ook de commutatieve wet ab = ba nodig en deze toepassen op gevallen met a of b negatief.