Beste antwoord
Dit is precies waarom twee punten “altijd” collineair zijn.
Een (rechte) lijn wordt “gedefinieerd” door twee punten. Of een derde punt collineair is ten opzichte van de lijn gedefinieerd door de eerste twee hangt af van het feit of de lijn gedefinieerd door de derde en de eerste / tweede lijn dezelfde lijn is of niet. Een lijn kan niet worden gedefinieerd door slechts één punt.
Een (plat) vlak wordt gedefinieerd door drie punten. Of een vierde punt coplaner is ten opzichte van het vlak gedefinieerd door de eerste drie hangt af van het feit of het vlak gedefinieerd door het vierde en het eerste en tweede / tweede en derde / derde en eerste zich in hetzelfde vlak bevinden of niet. Een vlak kan niet worden gedefinieerd door slechts twee punten.
Een vlak kan ook worden gedefinieerd door twee elkaar snijdende lijnen. Elk punt op de eerste lijn behalve het snijpunt, elk punt op de tweede lijn behalve het snijpunt en het snijpunt is het unieke vlak. Een vlak kan niet worden gedefinieerd door slechts één lijn. Twee elkaar kruisende lijnen zullen “altijd” coplaner zijn. Of een derde lijn coplaner is met het vlak gedefinieerd door de eerste twee hangt af van of het vlak gedefinieerd door de derde en de eerste / tweede lijn op hetzelfde vlak ligt.
In feite definiëren drie collineaire punten geen vlak. Drie punten zijn niet “altijd” coplaner. Dat zijn ze alleen als ze niet collineair zijn.
Antwoord
De afstand tussen 1 hoekpunt en de andere is 4 eenheden. Dit leidt ons tot DRIE RESULTATEN.
GEVAL: GEGEVEN VERTICES ZIJN NAAST EN DE LINKERKANT VAN HET VIERKANT.
We moeten de punten aan de rechterkant van het vierkant vinden. We kunnen duidelijk zien dat de afstand tussen (1,2) en (1,6) is 4. Dit betekent dat alle zijden van het vierkant 4 eenheden zijn. 4 eenheden rechts van (1,2) is (5,2). 4 eenheden rechts van (1,6) is (5,6).
GEVAL: GEGEVEN VERTICES ZIJN NAAST EN DE RECHTERKANT VAN HET VIERKANT.
Vergelijkbaar met het eerste geval. We moeten de punten aan de linkerkant van Het vierkant. We kunnen duidelijk zien dat de afstand tussen (1,2) en (1,6) 4 is. Dit betekent dat alle zijden van het vierkant 4 eenheden zijn. 4 eenheden links van (1,2) is (- 3,2). 4 eenheden rechts van (1,6) is (-3,6).
GEVAL: GEGEVEN VERTICES STAAN TEGENOVER.
De andere mogelijkheid is dat deze hoekpunten staan tegenover elkaar, we kunnen de pythagor gebruiken een stelling om de afstand van elke zijde op te lossen. 4 ^ 2 = x ^ 2 + x ^ 2. Met x als een zijde van het vierkant (maar we vinden de zijkanten door deze diagonaal in twee driehoeken te snijden).
16 = 2x ^ 2
8 = x ^ 2
x = \ sqrt {8}
Dus dat weten we nu de afstand van elk gegeven hoekpunt is \ sqrt {8} eenheden en maakt een hoek van 90 graden. Dit is niet genoeg. Je merkt dat de y-coördinaat van de beide onbekende hoekpunten 4 is, omdat deze zich in het midden van de twee gegeven hoekpunten bevindt (onthoud dat dit onder de voorwaarde is dat het tegengestelde hoekpunten zijn). Om de x-coördinaat van het rechter hoekpunt te vinden, moeten we de afstand van het middelpunt van de gegeven coördinaten (1,4) tot het onbekende rechter hoekpunt vinden, en dan 1 optellen. We zullen dit bij 1 optellen omdat het middelpunt is al 1 eenheid rechts van de oorsprong. Onthoud dat we de y-coördinaat als 4 hebben vastgesteld. Om de afstand van (1,4) tot (x, 4) te vinden, trekken we een denkbeeldige lijn die ze verbindt en gebruiken we de stelling van Pythagoras om te zeggen 2 ^ 2 + h ^ 2 = \ sqrt {8} ^ 2. h is de onbekende lengte van (1,4) tot (x, 4) die we behandelen als een hoogte.
4 + h ^ 2 = 8
h ^ 2 = 4
h = 2
Dus nu voegen we 1 + h toe om x te krijgen, omdat we begonnen van 1 rechts van de oorsprong. Het rechter onbekende hoekpunt is (3,4).
We weten dat het linker hoekpunt nu op dezelfde afstand van het middelpunt is maar naar links, dus doen we 1 – h = -1. Het linker onbekende hoekpunt is (-1,4).
Als de gegeven hoekpunten zich aan de linkerkant van het vierkant bevinden, zijn de onbekende rechter hoekpunten ( 5,2) en (5,6). Als de gegeven hoekpunten aan de rechterkant van het vierkant staan, zijn de onbekende linker hoekpunten (-3,2) en (-3,6). Als de gegeven hoekpunten niet aangrenzend maar tegenovergesteld zijn, zijn de onbekende hoekpunten (3,4) en (-1,4). Alle drie gevonden hoekpunten zijn mogelijk.
Het derde geval is iets gecompliceerder. Het is altijd handig om, indien mogelijk, problemen naar boven te halen als ik kennis maak met nieuwe geometrische concepten.
PS: ik heb het net uitgetekend nadat ik het probleem had gedaan om mijn werk te controleren en besefte dat het eigenlijk heel duidelijk om het derde geval te identificeren als je het gewoon uittekent, maar ik heb het bewezen, denk ik.