Beste antwoord
Alleen als θ = 0.
Het is geometrisch duidelijk dat voor elke θ tussen 0 en π / 2, 2sinθ is de lengte van het akkoord van een boog van radialen maat 2θ in een cirkel met straal 1. En aangezien het akkoord korter is dan de boog, moeten we sinθ <θ hebben voor al die θ. En natuurlijk, als θ> 1, dan sinθ . Ten slotte betekent sinθ <θ voor alle positieve θ sinθ> θ voor alle negatieve θ.
Zelfs als θ wordt gemeten in graden, kan sinθ niet gelijk zijn aan θ tenzij θ = 0, simpelweg omdat de radialen van een boog van θ graden is πθ / 180, wat veel kleiner is dan θ.
Antwoord
Ik denk dat de betere vraag is: kan \ cos \ theta gelijk aan 2?
Je weet waarschijnlijk dat het niet kan als \ theta de hoek is van een driehoek in vlakke geometrie, omdat de hypotenusa van een rechthoekige driehoek langer is dan de lengte van zijn benen, en het aangrenzende been mag niet tweemaal de lengte van de hypotenusa zijn. Evenzo als \ theta een reëel getal is, omdat \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Dus als \ theta \ in \ mathbb R, dan -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, dus \ cos \ theta kan niet 2 zijn.
We beweren echter dat als z \ in \ mathbb C, het is mogelijk voor \ cos z = 2. De complexe analytische definitie van de cosinus is inderdaad \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, en dus eindigen we met een kwadratische vergelijking, die hopelijk de meesten van ons gewend zijn .
We willen \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2 oplossen. Als we w = e ^ {iz} nemen, wordt dit \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2, of equivalent w ^ 2-4w + 1 = 0. Vervolgens passen we de kwadratische formule toe:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Aangezien w = e ^ {iz}, kunnen we dan het natuurlijke logboek nemen, maar moeten we voorzichtig : net zoals a ^ 2 = b ^ 2 niet a = b impliceert (het impliceert alleen a = \ pm b), e ^ a = e ^ b impliceert niet a = b, het betekent alleen impliceert a = b + 2 \ pi ik voor sommige k \ in \ mathbb Z. Vandaar,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Vervolgens vermenigvuldigen we eenvoudig met -i om de waarde van z te krijgen:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
We kunnen eindelijk onze oplossing herschrijven, waarbij we opmerken dat 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, en dus \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Het gedrag van \ cos z als een complexe analytische functie imiteert de trigonometrische functie in de reële richting en de hyperbolische cosinus in de imaginaire richting; in feite weet je misschien dat \ cos (iz) = \ cosh z en \ sin (iz) = i \ sinh z; en het combineren van deze feiten met de cosinus-somformule leidt tot \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, met x, y \ in \ mathbb R. Dit biedt een alternatieve manier om de antwoord. Philip Lloyd heeft hier een geweldig diagram over: Philip Lloyds antwoord op Waarom kan “t cos theta gelijk zijn aan 2?