Beste antwoord
1. Wortels van getallen.
Op de basisschool kregen we te horen dat de vierkantswortel van een getal eigenlijk een vraag is. Het getal dat zo vaak met zichzelf is vermenigvuldigd om een getal te krijgen, is de wortel. Bijv. vierkantswortel van 9 = 3, aangezien 3 × 3 = 9 vierde wortel van 16 = 2, aangezien 2 × 2 × 2 × 2 = 16 enzovoort. De aard van wortels is echter fundamenteler aangezien de toepassing het nummerstelsel uitbreidde van het rationele naar het reële. Met andere woorden, om de bewerking van het zoeken naar wortels te gebruiken, was het nodig om het nummerstelsel uit te breiden zodat het onder de bewerking van “rooten” door de irrationele getallen in te voeren. De rationale getallen zijn gesloten voor +, -, ×, ÷ maar niet voor√. Bijvoorbeeld √2 kan niet worden uitgedrukt als een verhouding. De Pythagoreërs wisten dit en zouden hebben geprobeerd supperess it, aangezien het niet vierkant, ha, ha, met hun wereldbeeld.
2. Wortels van vergelijkingen
De aard waarvan ons werd verteld was dat wanneer de curve de x-as. Dit kan één, twee of drie keer voorkomen, afhankelijk van de polynoom. Er zijn regels bedacht om ze te berekenen, die we allemaal hebben geleerd. Toen werd de vraag gesteld. Wat gebeurt er als de curve de x-as niet snijdt? Dan hebben we uiteraard een denkbeeldige wortel en dit gebeurde toen b ^ 2-4ac . Dit vereiste dat er een andere extensie van het nummersysteem was nodig. Dus is het systeem van complexe getallen uitgevonden, met wortels van negatieve getallen. Dus de aard van “wortels” is geweest om het getallensysteem uit te breiden tot voorbij de rationale getallen.
Antwoord
Ik kan me voorstellen dat je “natuurlijk” bedoelt in de zin van “natuurlijk isomorfisme”. Als iets natuurlijk of canoniek is, betekent dit grofweg dat het niet het resultaat is van een willekeurige keuze. Het wordt natuurlijk bepaald door zijn context.
Een van de motiverende voorbeelden van een natuurlijk ding is het isomorfisme tussen een eindig dimensionale vectorruimte V en zijn dubbele dubbele V ^ {\ vee \ vee}. Het isomorfisme neemt v \ in V naar E\_v \ in V ^ {\ vee \ vee}, waarbij E\_v (\ phi) = \ phi (v) voor \ phi \ in V ^ \ vee. Je stuurt de vector v naar de kaart E\_v die dubbele vectoren op v evalueert. Dit is natuurlijk; er werden geen willekeurige keuzes gemaakt, het viel gewoon rechtstreeks uit de definities en relaties van de betrokken objecten.
Er is natuurlijk nog een ander isomorfisme tussen deze twee ruimtes, maar deze is “de juiste keuze”. Elke andere keuze zou onnatuurlijk zijn; je zou bijvoorbeeld v naar E\_ {A (v)} kunnen sturen, waar A: V \ tot V een willekeurig lineair automorfisme is van V. Maar… waarom? Er is helemaal geen reden waarom u A moet introduceren, aangezien u de natuurlijke keuze v \ mapsto E\_v voor u heeft. Hopelijk is het verschil tussen het “natuurlijke” en “onnatuurlijke” isomorfisme duidelijk genoeg.
Aan de andere kant is er geen natuurlijk isomorfisme L: V \ tot V ^ \ vee. Het construeren van een isomorfisme vereist willekeurige keuzes. Ik zou een basis b\_1, \ dots, b\_n kunnen kiezen en verklaren dat L (b\_i) de dubbele vector is die b\_i naar 1 brengt en alle andere basisvectoren naar 0. Dit definieert een prima isomorfisme, maar ik zou precies hetzelfde kunnen doen ding met een andere basis en krijg een ander, even geldig isomorfisme. Er is geen manier om er een te kiezen op een natuurlijke, door God gegeven * manier.
Dit is een zeer ruwe, informele beschrijving. Het kan (en wordt) nauwkeurig gemaakt door categorietheorie: functoren en natuurlijke transformaties bieden de juiste manier om na te denken over wat iets natuurlijk maakt in een bepaalde context. Ik heb mijn best gedaan om mijn eigen intuïtie voor het concept over te brengen, waarvan ik denk dat het voldoende zou zijn totdat men klaar is voor de (cate) bloederige details.
* ondanks theologie / ontologie van de wiskunde