Beste antwoord
2x + y = 5, x – y = 1 heeft een unieke oplossing van x = 2, y = 1. De lijnen 2x + y = 5, x – y = 1 kruisen elkaar op één en slechts één punt en dat is (1,2).
Als er twee parallelle lijnen zijn zoals x – y = 1 en x – y = 7 dan is er geen oplossing voor de vergelijkingen x – y = 1, x – y = 7.
Als 2 vergelijkingen in feite hetzelfde zijn zoals x – y = 1,5 x – 5y = 5, dan is elk punt dat op die lijn ligt een oplossing zoals x = 3, y = 2 of x = 1.000 y = 999 en er is geen unieke oplossing.
wordt een beetje interessanter in een situatie waarin er 3 variabelen zijn, zeg x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 heeft een unieke oplossing van x = 1, y = 1, z = 1. De vlakken 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 kruisen elkaar op één en slechts één punt en dat is (1,1, 1).
Als er drie parallelle vlakken zijn zoals x + y + z = 1, x + y + z = 4 en x + y + z = 8, dan is er geen oplossing voor de vergelijkingen x + y + z = 1, x + y + z = 4 en x + y + z = 8.
Als een vergelijking een lineaire combinatie is van twee andere, dan is er geen unieke oplossing. Hier is een voorbeeld 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Niet alleen is (1,1,1) een oplossing maar ook (2,2, -2) en (3, 3, -7). In feite zijn er oneindig veel oplossingen.
De reden is dat de ene vergelijking een lineaire combinatie is van de andere
3x + z = 4 is 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Er zijn heel veel verwijzingen hiernaar, maar hopelijk geeft dit je een idee van wat unieke oplossingen in lineaire systemen zijn.
Antwoord
Mijn antwoord gaat er eerst van uit dat dit een systeem van lineaire vergelijkingen is in vergelijking met een systeem met lineaire ongelijkheden.
Kort antwoord – Wederzijds exclusieve opties: geen oplossing, één unieke oplossing of een oneindig aantal oplossingen.
Lang antwoord – Wat de soorten oplossingen zijn, hangt in zekere mate af van hoeveel vergelijkingen en hoeveel variabelen in het lineaire systeem en hoe je het systeem wilt beschrijven.
Algebraïsch:
- Een systeem zonder oplossingen wordt een inconsistent systeem . Het betekent dat er geen reeks waarden is voor de variabelen die tegelijkertijd alle vergelijkingen in het systeem oplost. Het volgende systeem is inconsistent:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Een systeem met precies één oplossing wordt een consistent, onafhankelijk systeem genoemd. Consistent omdat er een oplossing bestaat en onafhankelijk omdat elke vergelijking onafhankelijk is van de andere vergelijkingen. Dit betekent dat elke waarde voor de variabelen in de oplossing onafhankelijk is van de waarden van de andere variabelen. Er is precies één set waarden – één waarde per variabele – die tegelijkertijd alle vergelijkingen in het systeem oplost. Het volgende is een consistent, onafhankelijk systeem (overgenomen van mathisfun.com) met oplossing x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Een systeem met oneindig veel oplossingen wordt een consistent, afhankelijk systeem genoemd. Het is afhankelijk omdat ten minste één vergelijking in het systeem een veelvoud is van een andere vergelijking of een combinatie van andere vergelijkingen. Dat betekent dat terwijl de andere variabelen in het systeem slechts één waarde hebben die alle systemen tegelijkertijd oplost, een of meer variabelen het systeem met elke waarde kunnen oplossen. Het volgende is een consistent, afhankelijk systeem met oplossing y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Grafisch (systeem met 3 variabelen als voorbeeld):
- Een systeem met twee variabelen kan worden weergegeven door een groep lijnen op een tweedimensionale grafiek (meestal xy), terwijl een systeem met drie variabelen een verzameling lijnen of vlakken is op een driedimensionale grafiek (meestal xyz).Dus een systeem met n veel variabelen wordt weergegeven op een n- dimensionale grafiek.
- In een consistent, onafhankelijk systeem komen alle vlakken op één punt samen (dat wil zeggen 2 muren en een vloer komen samen in een hoek). In het consistente, onafhankelijke systeem dat hierboven in het algebraïsche antwoord wordt gebruikt, snijden de drie vlakken elkaar allemaal op punt (5,3,2).
- In een consistent , afhankelijk systeem , komen alle vlakken niet slechts op één punt samen, maar op een lijn (dwz drie paginas van een boekbijeenkomst aan de ruggengraat). In het systeem dat hierboven in het algebraïsche antwoord wordt gebruikt, snijden de drie vlakken elkaar allemaal op de lijn -5 y + 20 z = 27 (Merk op dat x elke waarde in de oplossing kan zijn).
- In een inconsistent systeem , tenminste twee vlakken zijn parallel en komen elkaar dus nooit tegen. Het derde vlak kan evenwijdig zijn aan beide vlakken (d.w.z. wegenlijnen in een straat) of ze beide kruisen, maar nooit op dezelfde plaats. (d.w.z. tegenoverliggende muren in een kamer en het plafond).