Beste antwoord
Allereerst moet je weten wat cosinus is. In eenvoudige bewoordingen, als je een cirkel met een straal van 1 eenheid op een grafiek neemt, geeft op de omtrek van die cirkel elke x-coördinaat de waarde van cosinus aan en geeft y-coördinaat de waarde van sinus weer.
een complete π betekent 180 ° op de cirkel gaan. Omdat de straal één is, zijn de waarden op de as 0 of 1 (afhankelijk van het punt).
Je moet beginnen met de positieve kant van de X-as. [waarden daar: (cos, sin) = (1, 0)] Nadat je de afstand gelijk aan π hebt geteld, bereik je de waarden (cos, sin) = (-1, 0) en door 2π te reizen bereik je de beginpunt en je krijgt de waarde van cos (2π) die 1 is.
Raadpleeg de afbeelding om het gemakkelijk te begrijpen.
Leuke en goed om te weten feiten:
cos (2nπ) = 1
cos [(2n-1) π] = -1
(n is een willekeurig geheel getal) (n ∈ Z)
cos is even functie, dat betekent
cos (-θ) = cos (θ), daarom is cos (2nπ) altijd 1, zelfs als je in een negatieve richting reist.
Antwoord
Opmerking, uit de stelling van Euler: e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {i \ theta} + e ^ {- i \ theta}} {2}
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}} {2i}
Vervang nu \ theta = i in bovenstaande tw o identiteiten, we krijgen
\ cos (i) = \ frac {e ^ {i \ cdot i} + e ^ {- i \ cdot i}} {2} = \ frac {e + e ^ {- 1}} {2} = \ cosh 1
\ sin (i) = \ frac {e ^ {i \ cdot i} -e ^ {- i \ cdot i}} {2i } = i \ frac {ee ^ {- 1}} {2} = i \ sinh 1
Opmerking: in het algemeen
\ cos (ix) = \ cosh (x)
\ sin (ix) = i \ sinh (x)