Beste antwoord
Simpel gezegd, Invariant is een eigenschap die niet verandert, zelfs niet na een transformatie of enige wiskundige bewerking. Een heel goed voorbeeld wordt gegeven in Wikipedia-
Neem het geval van de zwaartekrachtwet van Newton. De zwaartekracht tussen twee lichamen zal overal in het universum hetzelfde zijn. De zwaartekracht tussen deze twee lichamen zal vandaag dezelfde zijn als duizend jaar geleden. Ongeacht de richting waarin je deze lichamen beweegt, is de kracht hetzelfde. Dit is een voorbeeld van invariant.
Stressinvarianten zijn de eigenschappen van een stressmatrix die niet worden beïnvloed door transformatie. De spanningstoestand kan worden weergegeven in termen van een matrix. De hydrostatische spanningscomponent van deze matrix zou gelijk zijn aan het gemiddelde van de diagonale termen van de matrix (hoofdspanningen). De som van deze diagonale termen is wat wordt genoemd als de eerste invariant (ook wel het spoor van de matrix genoemd).
We kunnen dus een matrixtoestand opsplitsen als een sommatie van de hydrostatische en de deviatorische stresses-
Voor het bepalen van de Eigen-waarden en de Eigen-vectoren gebruiken we de vergelijking | A – Lamda I | * V = 0. Op dezelfde manier gebruiken we voor een spanningstoestand de volgende vergelijking die vergelijkbaar is met de bovenstaande vorm-
nj = Eigen vector, Sigma = eigenwaarde, delta ij = De identiteitsmatrix ook wel Kronecker delta genoemd. Deze identiteitsmatrix = 1 op de positie van de diagonalen waar i = j en gelijk aan 0 op alle andere plaatsen.
Nu kunnen we de volgende vorm vaststellen
Als u het zich goed herinnert, is dit de deviatorische component van de stressmatrix. Uit de onderstaande karakteristieke vergelijking kunnen we opmaken dat de Invarianten de coëfficiënten zijn van de spanningstermen in de karakteristieke vergelijking.
Waar, I1, I2 en I3 zijn de invarianten van de stressmatrix.
a. I1 is het spoor van de matrix en is de som van de diagonale termen. Eerste Invariant.
b. I2 is de som van de minoren van de matrix. Tweede Invariant.
c. I3 = Waarde van de determinant van de matrix. Derde invariant.
T dit zijn allemaal invarianten omdat ondanks de transformatie die op de matrix is uitgevoerd, deze waarden hetzelfde blijven.
In de bovenstaande stappen hebben we de deviatorische matrix vastgesteld en we kwamen erachter dat het J1 is en deze J1 bleek gelijk te zijn aan 0. Als J1 = 0, dan is de som van de diagonale termen = 0. Dus het gemiddelde hiervan (ook wel hydrostatische spanning = 0 genoemd. Dus, hydrostatische spanning van de deviatorische component is gelijk aan 0, wat betekent dat het een toestand is van PURE SHEAR.
Deviatorische spanning en invarianten
Antwoord
Stress wordt meestal weergegeven als een tweede orde symmetrische tensor, die kan worden gezien als een 3 * 3 matrix. Nu heeft elke tensor iets dat de invarianten die niet veranderen met een verandering van basis. Er zijn drie principe invarianten voor een tweede of orde tensor (spanning, rek, traagheidsmoment vallen allemaal onder dit). Deze blijven hetzelfde, zelfs als de b asis is veranderd. Om te begrijpen wat we bedoelen met een verandering van basis, moet u denken aan een elementaire sterkte van een materieel probleem, waarbij we proberen de resulterende normaal- en schuifspanningen te vinden op een vlak dat geneigd is tot een gegeven reeks coördinaatassen (onze basis). We kunnen alle cirkels van Mohr doen en de spanningscomponenten vinden langs de nieuwe basis (nieuwe coördinaatassen die langs en loodrecht op de helling staan). Dus als je de spanningstensor eerder en nu bekijkt, is deze element voor element veranderd (beide zijn echter symmetrisch) maar de volgende grootheden blijven hetzelfde
- Trace van matrices
- Trace van de cofactor van de matrices
- Determinant van de matrices.
Dit zijn drie voornaamste “invarianten”.