Beste antwoord
De lading op 1 proton is 1,6 x 10 ^ -19C. Elektron heeft dezelfde grootte, maar gaat in de tegenovergestelde richting, vandaar een negatief teken ervoor: -1,6 x 10 ^ -19C
Antwoord
TL; DR Het elektron krijgt zijn lading door te koppelen aan het elektromagnetische veld. We denken dat de sterkte van deze koppeling (grootte van de lading) zodanig moet zijn dat deze precies de andere ladingen in zijn generatie annuleert.
Hallo! Goede vraag.
Ik zou graag willen veronderstellen dat de lezer vertrouwd is met calculus wanneer ik deze vraag beantwoord, met name differentiatie. Mocht mijn aanname onwetend of onjuist zijn, dan moet je misschien gewoon mijn wiskundige manipulaties vertrouwen.
Deze discussie zal niet ingaan op de ladingen van de zware vectorbosonen die de zwakke interactie bemiddelen. Dat valt ver buiten het bestek van deze vraag.
Er is een fundamenteel concept in de natuurkunde dat schijnbaar de evolutie van de natuur regelt, het principe van de minste actie. Het zegt in feite dat er een hoeveelheid is in elk systeem dat de actie die stationair is onder variaties van de eerste orde. De actie, S, wordt als volgt gedefinieerd:
S = \ int\_ {t\_ {1}} ^ {t\_ {2}} Ldt,
waarbij de hoofdletter “L” de unieke Lagrangiaan van het systeem is. Het principe van de minste actie kan wiskundig worden uitgedrukt:
\ delta S = \ delta \ int\_ {t\_ {1}} ^ { t\_ {2}} Ldt = 0
Hieruit kan een set differentiaalvergelijkingen worden afgeleid die de Euler-Lagrange-vergelijkingen worden genoemd:
\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left (\ frac {\ partiële L} {\ partiële \ punt {q} \_ {i}} \ right) = \ frac {\ partiële L} {\ partiële q\_ {i}} .
Een van deze vergelijkingen bestaat voor elke gegeneraliseerde coördinaat q\_ {i}. Als de Lagrangiaan bekend is, kunnen deze vergelijkingen worden geëvalueerd om een reeks differentiaalvergelijkingen te geven die de tijd beschrijven. de evolutie van het systeem. Gegeven een aantal beginvoorwaarden is het gedrag uniek.
Tot nu toe was de discussie nogal klassiek. De oorsprong van de lading is echter een zaak van de kwantumwereld. De energieën op deze schaal vereisen ook relativistische overwegingen. Dus we wenden ons tot de kwantumveldentheorie. We zouden hier graag het principe van de minste actie gebruiken, maar de relativiteitstheorie leert ons om ruimte en tijd gelijk te behandelen, dus de afgeleiden moeten dat weerspiegelen. De Euler-Lagrange-vergelijkingen transformeren als volgt:
- De Lagrangiaan L wordt de Lagrangiaanse dichtheid \ mathcal {L}, wat zoals je kunt verwachten de Lagrangiaan per volume-eenheid is.
- De tijdsafgeleiden worden vier gradiënten, \ partieel \_ {\ mu}.
- De “coördinaten” worden “velden”, \ phi\_ {i}
De relativistische generalisatie van de Euler-Lagrange-vergelijkingen is dan
\ partieel \_ {\ mu} \ left (\ frac {\ partieel \ mathcal {L}} {\ partieel \ left (\ partieel \_ {\ mu} \ phi\_ {i} \ right)} \ right) = \ frac {\ partieel \ mathcal {L}} {\ partiële \ phi\_ {i}}.
De Lagrangiaanse dichtheid voor elke gratis spin-1/2 fermion wordt gegeven door de Dirac Lagrangiaan (Lagrangiaanse dichtheid – Vanaf nu is de term “Lagrangian” verwijst naar de dichtheid.):
\ mathcal {L} = \ bar {\ psi} \ left [i \ left (\ hbar c \ right) \ gamma ^ {\ mu } \ gedeeltelijk \_ {\ mu} -mc ^ {2} \ right] \ psi.
De \ psi is het spinorveld van het fermion in kwestie, en de \ gamma ^ {\ mu} is een Dirac-matrix (als je hier niet bekend mee bent, smeek ik je om te verwijzen naar het juiste Wikipedia-item). Als deze Lagrangiaan in de gegeneraliseerde Euler-Lagrange-vergelijking wordt geplugd, kan men de Dirac-vergelijking met vrije deeltjes vinden (eigenlijk hangt het af van het veld waarmee we besluiten te werken; de adjunct-spinor geeft ons de Dirac-vergelijking, terwijl de spinor ons de Dirac-vergelijking zelf zal het adjoint van de Dirac-vergelijking opleveren).
Laten we nu eens kijken welke symmetrieën deze vergelijking heeft. Hoe kunnen we het spinorveld transformeren zodat de bewegingsvergelijkingen ongewijzigd blijven? blijkt dat de Dirac Lagrangiaan invariant is onder globale U (1) -transformaties, die van de vorm
\ psi \ rightarrow e ^ {i \ theta} \ psi, of \ bar {\ psi} \ rightarrow e ^ {- i \ theta} \ bar {\ psi}.
Het is een simpele maar belangrijke oefening om dit te bewijzen. Dit roteert de hele ruimte met een bepaalde hoek \ theta, maar dat is niet echt veel betekenen, doet het. Het draaien van alle ruimte komt neer op het kijken naar hetzelfde systeem voor een andere positie. Laten we een iets sterkere voorwaarde opleggen, zullen we? Stel dat de hoek een functie is van de positie in ruimtetijd,
\ theta \ rightarrow \ theta \ left (x ^ {\ mu} \ right ),
zodat we een lokale fasetransformatie toepassen:
e ^ {i \ theta} \ rightarrow e ^ {i \ theta \ left (x ^ {\ mu} \ right)}.
Dit levert een probleem op! Er is een nieuwe term als resultaat van de afgeleide van de hoek:
\ mathcal {L} \ rightarrow \ mathcal {L} – \ hbar c \ left (\ gedeeltelijke \_ {\ mu} \ theta \ right) \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi
Hoe gaan we dit oplossen?
Laten we voor de eenvoud een nieuwe variabele introduceren,
\ lambda \ left (x \ right) = – \ frac {\ hbar c} {q} \ theta \ left (x \ right),
waarbij q een soort schaalfactor is. De Lagrangiaan wordt
\ mathcal {L} \ rightarrow \ mathcal {L} + \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) \ partieel \_ {\ mu } \ lambda \ left (x \ right).
Als we eisen lokale U (1) ijkinvariantie, moeten we iets om rekening te houden met de extra term die we hebben geïntroduceerd. Dit haalt ons natuurlijk weg van de gratis Dirac Lagrangian. Stel dat we een term toevoegen met de vorm – \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) A \_ {\ mu}, voor sommigen vector veld A \_ {\ mu} dat transformeert als A \_ {\ mu} \ rightarrow A \_ {\ mu} + \ partieel \_ {\ mu} \ lambda. Deze term zal exact compenseren voor de extra term in onze lokaal fase-invariante Lagrangiaan. Deze nieuwe term omvat echter ons fermionische spinorveld en het nieuwe vectorveld; het is een interactieterm. We hebben een “vrije veld” term nodig voor een complete Lagrangiaan. Als vectorveld moet A \_ {\ mu} worden beschreven door de Proca Lagrangiaan voor spin-1 bosonen:
\ mathcal {L} = – \ frac {1} {16 \ pi} F ^ { \ mu \ nu} F \_ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {8 \ pi} \ left (\ frac {m\_ {A} c} {\ hbar} \ right) ^ {2} A ^ {\ mu} A \_ {\ mu}, waarbij
F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ left (\ gedeeltelijke ^ {\ mu} A ^ {\ nu} – \ gedeeltelijke ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right).
Er doet zich nog een ander probleem voor: terwijl de eerste term lokaal invariant is, is de tweede term niet . Dan moet het vectorveld massaloos zijn! Door nu de gratis Dirac Lagrangiaan, de Proca Lagrangiaan voor een massaloos vectorveld en de interactieterm toe te voegen, krijgen we de volledige elektromagnetische Lagrangiaan:
\ mathcal {L} = \ bar {\ psi} \ left [ i \ left (\ hbar c \ right) \ gamma ^ {\ mu} \ partieel \_ {\ mu} -mc ^ {2} \ right] \ psi- \ frac {1} {16 \ pi} F ^ {\ mu \ nu} F \_ {\ mu \ nu} – \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) A \_ {\ mu}.
De eerste term staat voor gratis spin-1/2 fermionen. De tweede staat voor vrije spin-1 bosonen die via de derde term een interactie aangaan met de fermionen. Deze massaloze bosonen zijn, zo blijkt, fotonen, die de elektromagnetische interacties tussen geladen deeltjes bemiddelen. Het vectorveld A \_ {\ mu} is de elektromagnetische potentiaal, wat slechts een wiskundige truc was in de klassieke elektrodynamica, maar hier is een meer fundamentele grootheid. En zoals je misschien al geraden hebt, is de F ^ {\ mu \ nu} de veldtensor, die netjes alle informatie over de elektrische en magnetische velden bevat.
Nu terug naar de oorspronkelijke vraag: wat geeft een elektron zijn lading? Herinner je je q, die kleine schaalfactor die ik eerder noemde? Dat is toevallig de lading van de op elkaar inwerkende fermionen. Merk je hoe het alleen voorkomt in de interactieterm? De lading van een deeltje is precies de kracht waarmee het zich koppelt aan fotonen, de quanta van het elektromagnetische veld. Maar waarom is het “negatieve?” Dat is wat lastiger uit te leggen. Ruwweg vereisen standaard unificatie-theorieën dat de kosten in elke generatie op nul worden opgeteld om bepaalde anomalieën op te heffen, oneindigheden die opduiken in berekeningen voor hoeveelheden die eindig moeten zijn. Dus voor twee quarks (lading 2/3 en -1/3), elk van drie “kleuren” van de sterke kracht, een neutrale lepton (de neutrinos) en een geladen lepton (bijv. Het elektron, lading -1), we krijg 3 * (2/3 + -1/3) +0+ -1 = 0. Controleer. De lading van het elektron (muon “s, tau” s) moet de som van alle andere fermionen in zijn generatie exact opheffen. Er zijn nog veel vragen over de details, maar veel bestaande GUTs stellen dat de toewijzing van ladingen aan elementaire deeltjes maakt deel uit van een aantal nog niet waargenomen symmetrie.
Samengevat : het elektron krijgt zijn lading door te koppelen aan het elektromagnetische veld. We denken dat de sterkte van deze koppeling (grootte van de lading) zodanig moet zijn dat deze precies de andere ladingen annuleert in zijn generatie.