Beste antwoord
Helaas bestaat er geen eenvoudige methode. Er zijn echter patronen voor de eindcijfers, hoewel dat een ander onderwerp is.
Dit is hoe dan ook de formule: Factorial Sums – van Wolfram MathWorld
=
waarbij
de exponentiële integraal is,
is het echte deel van z,
is de gammafunctie , en i is het denkbeeldige getal .
Antwoord
De truc om problemen op deze manier angstaanjagend te maken is t o vind patronen.
Ten eerste moeten we al die lelijke getallen verwijderen die betrokken zijn bij gigantische faculteiten en exponenten. Aangezien we alleen naar het laatste cijfer kijken, heeft elk cijfer voorbij dat (tientallen, honderden cijfers, etc.) geen invloed op het cijfer. (Omdat al die andere cijfers allemaal veelvouden zijn van 10, maar aangezien 10> 1 en elk veelvoud van 10 eindigt op 0, heeft dit geen invloed op het cijfer van de eenheid.)
Onze beste gok is om te beginnen met het vinden van de eenhedencijfer van dat getal zonder de exponent (alleen de basis). Omdat de eerste paar faculteiten gemakkelijk te berekenen zijn, doen we dat. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320… .Waarom eindigen ze steeds op nul?
Het komt door de priemfactorisatie . Zoals u weet, 10 = 5 \ cdot 2. Als de factorisatie in priemgetallen van iets een 5 en een 2 heeft, dan is het een veelvoud van tien (door de distributieve eigenschap). Aangezien het laatste cijfer van een getal in basis tien (wat we gebruiken) in feite het deel is dat niet deelbaar is door 10, is het in veelvouden van 10 0.
Nu kijken we opnieuw naar de faculteiten .
1 = 1
2 = 1 * 2
3 = 1 * 2 * 3
4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3
5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5
Sinds de faculteit van alles hoger dan 5 is een veelvoud van 5 !, je weet dat het een 2 en een 5 zal hebben in de factorisatie in priemgetallen, dus ze eindigen allemaal op 0. Hoera! Nu hoeven we alleen maar te kijken naar 1 !, 2 !, 3 !, en 4 !. Zoals we al hebben berekend, is hun som 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, waarvan het laatste cijfer eindigt op 3.
Nu is ons probleem 3 ^ 33. We proberen weer patronen te zoeken. Laten we eens kijken naar enkele machten van 3!
3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….
Hmmmm. Het cycli: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… .. (Opmerking: ik weet niet waarom dit gebeurt. Iemand vertelt het me alsjeblieft!) En elke exponent die een veelvoud van 4 is, leidt tot een eindigend op 1, zoals je kunt zien. 32 is een veelvoud van 4, dus 3 ^ 32 eindigt op 1. Nu kijken we gewoon naar het volgende getal in de cyclus: 3! Daarom eindigt het op 3.