Beste antwoord
De afleiding van deze som is vergelijkbaar met die voor
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Laten
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Aangezien optellen commutatief is, kunnen we S zo omgekeerd schrijven
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ dots + 1 \ tag * {(2)}
Deze twee toevoegen representaties term voor term geeft ons
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ dots (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n keer}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
Hieruit volgt uiteraard dat
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Dit is een bekend resultaat dat kan worden bewezen door inductie, wat ik nu ga doen. Om dit te doen, moeten we aantonen dat
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Opmerking: ik gebruik H\_ {0} als een verkorte referentie voor de hypotheseverklaring)
Om aan te tonen dat H\_ { 0} via inductie geldt, moeten we aantonen dat de gelijkheid geldt voor het basisgeval, n = 1, en het inductiegeval, n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. Het basisscenario is duidelijk aangezien 1 = 1 ^ {2} = 1, wat ons het inductiegeval overlaat.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
We zien dat de gelijkheid geldt voor k + 1, daardoor waaruit blijkt dat H\_ {0} inderdaad waar is. We kunnen dus definitief beweren dat onze afleiding van (6) inderdaad correct is.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Antwoord
Laten we eens kijken en zien. Iedereen kan tenminste de eerste paar gevallen waarnemen, toch?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Herkent u nu de cijfers aan de rechterkant?
1,4,9,16,25, \ ldots
Ja! zijn de perfecte vierkanten. 1 \ keer 1, 2 \ keer 2, 3 \ keer 3, 4 \ keer 4 enzovoort.
We hebben nu een vermoeden. Laten we het op de proef stellen:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Ja! De zes kleinste oneven getallen zijn opgeteld 6 ^ 2, precies zoals we hadden voorspeld. Je kunt er nog een paar proberen: het werkt.
Als we natuurkundigen zijn, stoppen we hier. We hebben een observatie gedaan, we hebben een hypothese gevormd, we hebben onze hypothese één en twee keer en honderd keer experimenteel getest, het werkt altijd, klaar. Onze theorie is correct totdat een experiment het weerlegt.
Maar we zijn wiskundigen, zijn wij niet. We hebben bewijs nodig. En er zijn genoeg rigoureuze bewijzen van dit leuke feitje.
Maar er is ook een kristalhelder visueel bewijs. Hier is het:
EDIT: veel mensen hebben om een rigoureus bewijs gevraagd. Hier is een relatief eenvoudige die kan worden afgeleid uit dit visuele bewijs.
We merken dat de oneven getallen zijn alleen de verschillen tussen opeenvolgende vierkanten, zoals:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
enzovoort. Dus als we ze optellen, wordt alles geannuleerd behalve het laatste vierkant:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Laten we dit nu formeel opschrijven voor een willekeurig aantal oneven getallen dat wordt opgeteld. k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
en dus de som van de eerste n oneven getallen, die
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
is gelijk aan
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED