Beste antwoord
Om precies te zijn, je kunt “niet de krul van een enkele vector nemen. Je hebt een vectorveld nodig om te nemen de krul, zoiets als dit:
De krul is een differentiële operator die een driedimensionaal vectorveld neemt en uitspuugt nog een driedimensionaal vectorveld.
Om een idee te krijgen van wat de krul betekent, stel je voor dat we een vectorveld hebben dat de snelheid van een vloeistof weergeeft. Dat wil zeggen: de vloeistof vult wat ruimte, en de snelheidsveld vertelt ons wat de snelheid van de vloeistof is op elk punt in die ruimte. Als we de krul van het snelheidsveld nemen, krijgen we een nieuw vectorveld dat ons ruwweg vertelt hoe de vloeistof bij elke punt in de ruimte. Met name de grootte van de krulvector vertelt u de sterkte van de rotatie en de richting vertelt u de rotatierichting volgens de regel voor de rechterhand .
In cartesi coördinaten, kan de curl worden berekend als het kruisproduct van de del-operator en het originele veld: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ partiële F\_z} {\ partiële y} – \ frac {\ partiële F\_y} {\ partiële z}) \ hat {x} + (\ frac {\ partiële F\_x} {\ partiële z} – \ frac {\ partieel F\_z} {\ partieel x}) \ hat {y} + (\ frac {\ partieel F\_y} {\ partieel x} – \ frac {\ partieel F\_x} {\ partieel y}) \ hat {z}
Een van de grootste redenen waarom de krul belangrijk is, is de Helmholtz-ontleding . Kortom, alles wat u nodig hebt om een vectorveld volledig te karakteriseren, is zijn divergentie en krul. Dit wordt bijvoorbeeld met veel succes gebruikt in de Maxwell-vergelijkingen, die u door het specificeren van de krul en divergentie van de elektrische en magnetische velden de velden op te lossen:
Antwoord
Verschillende mensen kunnen verschillende analogieën / visualisaties nuttig vinden, maar hier is een mogelijke reeks” fysieke betekenissen “.
Divergentie: stel je een vloeistof voor, waarbij het vectorveld de snelheid van de vloeistof op elk punt in de ruimte weergeeft. Divergentie meet de nettostroom van vloeistof uit (dwz divergerend van) een bepaald punt. Als in plaats daarvan vloeistof stroomt in dat punt, zal de divergentie negatief zijn.
Een punt of gebied met positieve divergentie wordt vaak een bron (van vloeistof, of wat dan ook het veld beschrijft), terwijl een punt of gebied met negatieve divergentie een “sink” is.
Curl: Laten we teruggaan naar onze vloeistof, waarbij het vectorveld de vloeistofsnelheid weergeeft. De krul meet de mate waarin de vloeistof rond een bepaald punt roteert, met draaikolken en tornados als extreme voorbeelden.
Stel je een klein brokje vloeistof voor, zo klein dat de krul er min of meer constant in zit. Jij bent ook heel klein gekrompen, en je krijgt te horen dat je een rondje moet zwemmen rond de omtrek van dat stuk vloeistof. Kies je ervoor om met de klok mee of tegen de klok in te zwemmen? Als de krul van de snelheid nul is, maakt het niet uit. Maar als het niet nul is, dan ga je in de ene richting meestal met de huidige, en in de andere richting ga je “meestal tegen de stroom in, en dus je richtingkeuze zou ertoe doen. Het teken van de krul zal u vertellen wat de juiste keuze is.
Verloop: Hoewel het volkomen geldig is om het verloop van een vectorveld, het resultaat is een tensor van rang 2 (zoals een matrix), en dus is het moeilijker uit te leggen in intuïtieve termen (hoewel iemand anders het misschien zal redden). Dus in plaats daarvan zal ik het hebben over de hellingshoek van een scalair veld: specifiek het veld dat de hoogte van de grond boven zeeniveau op een bepaald punt aangeeft op de aarde (bijvoorbeeld gespecificeerd in termen van lengte- en breedtegraad).
In die situatie is de helling eigenlijk vrij eenvoudig: hij wijst heuvelopwaarts (in de steilste richting), en de grootte vertelt hoe steil dat is. Als de helling bijvoorbeeld naar het noordoosten wijst met een magnitude van 0,2, dan is de richting van de steilste klim noordoost en elke meter die je naar het noordoosten reist, levert 0,2 meter hoogteverschil op.
U kunt het verloop van een vectorveld zien als het verloop van elke component van dat vectorveld afzonderlijk, die elk een scalair zijn.