Wat is de kubuswortel van 1?


Beste antwoord

We kunnen dit geometrisch benaderen. Er zijn drie oplossingen, ze zijn: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 °, en 1 / \_240 ° in polaire vorm. We moeten rekening houden met het domein van complexe getallen. (op dit moment kan ik geen diagrammen verstrekken, dus mijn excuses). Het gebruik van pen en papier bij het lezen van dit antwoord zou erg handig zijn.

Opmerking: “/ \_” staat voor “hoek”. De hoek wordt tegen de klok in gemeten ten opzichte van de positieve reële as (positieve x-as). 0 ° is ook hetzelfde als 360 °, 720 ° enzovoort. Elke hoek θ is hetzelfde als θ + 360 °.

Geometrisch, als we 1 op een complex vlak voorstellen als 1 + 0i (1,0); dit is gelijk aan 1 / \_ 0 ° of 1 / \_360 ° in polaire vorm. We zouden een eenheidscirkel kunnen tekenen met het middelpunt op oorsprong 0,0. Door de eenheidscirkel van 360 ° (of 2π radialen) in 3 gelijke delen te verdelen, krijgen we de drie vereiste wortels.

De eerste wortel op 1 / \_0 ° of / \_360 °. [Als ik 3 volledige omwentelingen (360 °) vanuit (1,0) linksom maak (driemaal met zichzelf vermenigvuldigen of kubusvormig), kom ik op hetzelfde punt: 1 / \_0 °. Let ook op: als ik 3 “geen omwentelingen” maak (0 °). Ik kom ook op hetzelfde punt!]

Voor de andere twee wortels:

  1. Beginnend bij 1 / \_0 °, als ik 1/3 maak (een derde of 120 °) omwenteling tegen de klok in (een vermenigvuldigd met 1 / \_120 °), kom ik uit op 1 / \_120 °, wat de tweede wortel is. Als ik vanaf daar nog twee 1/3 omwentelingen maak, kom ik weer uit op 1 / \_360 °, dwz weer 1 / \_ 0 °. (dus ik maakte drie 1/3 of 120 ° omwentelingen, of ik deed kubussen). Daarom is de kubus van 1 / \_120 ° ook 1.
  2. Beginnend bij 1 / \_0 °, als ik 2/3 (240 °) omwenteling maak, kom ik uit op 1 / \_240 ° wat de derde wortel, als ik nog een 2/3 omwenteling maak, kom ik uit op 1 / \_480 °, dwz op 1 / \_120 ° en met nog een 2/3 omwenteling, kom ik uit op 1 / \_720 ° dwz terug naar 1 / \_0 °. dus ik maakte drie omwentelingen van 2/3 of 240 °, of ik deed blokjes). Daarom is de kubus van 1 / \_240 ° ook 1.

De wortels zijn 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. gescheiden door 120 ° gelijkelijk op de eenheidscirkel.

U kunt de waarden converteren naar rechthoekige vorm en zien dat de antwoorden hetzelfde zijn als die van anderen.

In het algemeen krijgt u de nde wortel, verdelen we de eenheidscirkel in n gelijke delen, of gelijkmatig verdeelde hoeken van 360 / n °, en de wortels liggen op de buitengrens van de cirkel. Dus, aangezien 360/5 = 72 °, zijn de 5e eenheidswortels: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.

Antwoord

Laat z zon z ^ 3 = 1

de belangrijkste stap, neem niet de kubuswortel van beide kanten, anders mis je 2 wortels. Herschrijf de vergelijking liever als:

z ^ 3–1 = 0

factor linkerkant

(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0

z-1 = 0, z = 1

z ^ 2 + z + 1 = 0 heeft 2 complexe wortels:

z = -0.5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *