Beste antwoord
Hoofdkubuswortel van -216 is niet -6
De hoofdkubuswortel van -216 is 3 + 3i (sqrt (3)) waarbij i ^ 2 = -1
Om de kubuswortels van -216 te vinden, laat x ^ 3 = -216
Dan x ^ 3 + 216 = 0 die kan worden verdisconteerd met behulp van factorisatie van kubussen sinds 216 = 6 ^ 3
(a ^ 3-b ^ 3) = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2 )
(a ^ 3 + b ^ 3) = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2)
(x ^ 3 + 6 ^ 3) = (x + 6) (x ^ 2–6x + 36) = 0
Om op te lossen, stelt u beide delen gelijk aan nul, want als één nul is, is nul keer alles nul
(x + 6) = 0, x = 6
(x ^ 2-6x + 36) = 0 wat kan worden opgelost door het vierkant te voltooien
(x ^ 2-6x + c) = – 36 + c waarbij c de constante is. c = (b / 2) ^ 2 en b is 6, dus c = 3 ^ 2 = 9
(x ^ 2–6x + 9) = – 27, (x ^ 2–6x + 9) factoren in (x-3) (x-3) = (x-3) ^ 2
(x-3) ^ 2 = -27, (x-3) = sqrt (-27), x = 3 + sqrt (-27), x = 3 – sqrt (-27)
sqrt (-27) = (sqrt (-1x9x3)) = sqrt (-1) xsqrt (9) xsqrt (3) = 3i (sqrt (3))
x = 3 + 3i (sqrt (3), x = 3–3i (sqrt (3))
Dus de kubus wortels van -216 zijn -6, 3 + 3i (sqrt (3)), 3–3i (sqrt (3))
Bij het vinden van een wortel van het getal is de hoofdwortel de wortel die het dichtst bij de positieve reële as in het complexe vlak. Als twee wortels even ver verwijderd zijn van de positieve reële as en het dichtst bij elkaar zijn, is de wortel met een positieve imaginaire component de hoofdwortel. Aangezien 3 + 3i (sqrt (3)) en 3–3i ( sqrt (3)) bevinden zich dichter bij de positieve reële as dan -6 en zijn even ver weg, de belangrijkste oplossing is 3 + 3i (sqrt (3)) ongeacht of -6 een echte oplossing is
Daarom de belangrijkste kubuswortel van -216 is 3 + 3i (sqrt (3))
Antwoord
Re “Wat is \ sqrt {216} vereenvoudigd?”, zou mijn primaire antwoord zijn, \ sqrt {216} is al zo “simpel” als u kunt n maak het. Het is “het irrationele getal dat, in het kwadraat, het gehele getal 216 oplevert”. Je kunt niet veel “eenvoudiger” worden dan dat.
Nu zijn sommigen het misschien niet eens en zeggen ze dat je \ sqrt {216} zou kunnen “vereenvoudigen” door 216 als hoofdfactoren in rekening te brengen. Dat zou je geven: \ sqrt {216} \\ = \ sqrt {(2) (2) (2) (3) (3) (3)} \\ = 6 \ sqrt {2} \ sqrt {3} \ \ = 6 \ sqrt {6} Maar zijn die laatste twee vormen eigenlijk “eenvoudiger”? De getallen zijn kleiner, maar conceptueel gezien zijn die uitdrukkingen, denk ik, eigenlijk complexer.
Dus mijn antwoord is: \ sqrt {216} vereenvoudigd is \ sqrt {216}