Wat is de mooiste vergelijking?

Beste antwoord

Het is moeilijk om er een te kiezen, dus ik laat jou kiezen 🙂

1. Eulers identiteit

De vergelijking combineert vijf van de belangrijkste getallen in de wiskunde Dit zijn:

• 1 – de basis van alle andere getallen
• 0 – het concept van niets
• pi – het getal dat een cirkel definieert
• e – het getal dat ten grondslag ligt aan exponentiële groei
• i – de “denkbeeldige” vierkantswortel van -1

2. Einsteins veldvergelijking ( samenvatting van de tien vergelijkingen)

De natuurkundige John Wheeler vatte het kort samen: “Ruimte-tijd vertelt materie hoe te bewegen ; materie vertelt ruimte-tijd hoe te buigen. “

De vergelijking van Einstein kan ons vertellen hoe ons universum in de loop van de tijd is veranderd, en biedt een glimp van het vroegste moment s van de schepping. Het is geen verrassing dat het de favoriet is van veel wetenschappers.

3. Golfvergelijking

De golfvergelijking beschrijft hoe golven zich voortplanten. Het is van toepassing op alle soorten golven, van watergolven tot geluid en trillingen, en zelfs licht- en radiogolven.

Het is een affichekind voor het idee dat wiskundige principes zich op één gebied ontwikkelden, of op hun eigen terrein. sake, kan vitale toepassingen hebben op andere gebieden. Zijn schoonheid komt voort uit de combinatie van deze eigenschappen: elegantie, verrassing, intellectuele diepgang, bruikbaarheid.

4. De logistieke kaart

De logistieke kaart is een van de klassieke voorbeelden van chaostheorie.

Het kan als volgt worden samengevat: grote complexiteit kan voortkomen uit zeer eenvoudige regels.

De vergelijking kan worden gebruikt om veel natuurlijke processen te modelleren, bijvoorbeeld hoe een populatie dieren in de loop van de tijd groeit en krimpt.

Hoe de bevolking zich gedraagt ​​blijkt enorm gevoelig te zijn voor de waarde van r, op een contra-intuïtieve manier. Als r tussen 0 en 1 ligt, gaat de populatie altijd dood, maar als die tussen 1 en 3 ligt, zal de populatie een vaste waarde benaderen – en als deze hoger is dan 3,56995 wordt de populatie enorm onvoorspelbaar.

Deze gedragingen worden door wiskundigen als “chaotisch” beschreven en ze zijn niet wat we instinctief zouden verwachten. Maar ze komen allemaal voort uit een vergelijking die wiskundig vrij eenvoudig is.

Dat is het voorlopig.

Als je denkt dat ik een vergelijking heb gemist, vertel het me dan alsjeblieft: Ik zal het aan het antwoord toevoegen 🙂

Antwoord

Ik zie hier veel basisberekeningsproblemen met PEMDAS, maar dat is elementaire wiskunde waarvan ik zeker weet 99\% van de mensen die denken dat ze heel goed zijn in wiskunde, kunnen het bij het rechte eind hebben. Ik heb ook de vergelijking van Bob Hock opgemerkt, die erg creatief is, maar ik geloof niet dat het zo moeilijk te bewijzen is.

Het probleem dat ik hier post, is AIME II-probleem 15 uit 2006, dat ziet er erg ingewikkeld uit, maar valt uiteen in iets heel eenvoudigs door een creatieve relatie:

Aangezien x, y en z reële getallen zijn die voldoen aan

x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}

y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}

z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}

en dat x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, waarbij m en n positieve gehele getallen zijn en n niet deelbaar door het kwadraat van een priemgetal, vind m + n

Op het eerste gezicht lossen we een algebra-probleem op waarbij we de som moeten vinden. Een eerste gedachte zou kunnen zijn om de vergelijkingen te kwadrateren om tot op zekere hoogte van de vierkantswortels af te komen, maar een dergelijke methode is duidelijk rommelig.

Merk op dat we niet voor elk van x, y hoeven op te lossen , z afzonderlijk en alleen hun som nodig hebben, zouden we kunnen overwegen om de drie gegeven vergelijkingen toe te voegen, wat geeft

x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}

We hebben wat we aan de ene kant nodig, maar aan de andere kant lijkt niets te annuleren, dus dit lijkt niet juist.

Een derde idee zou zijn om de uitdrukking binnen de vierkantswortels te verdelen met behulp van verschil in vierkanten aangezien de gegeven breuken allemaal perfecte vierkanten zijn. Dit geeft

x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}

etc, maar toch is er geen duidelijke manier om de factoren op een bruikbare manier te manipuleren. Kortom, we kunnen proberen om één variabele tegelijk op te lossen, maar er is geen duidelijke manier om dit te doen.

Het blijkt dat de beste oplossing voor dit probleem is om geometrisch te denken. Herinner je de stelling van Pythagoras dat in een rechthoekige driehoek met benen a, b en hypotenusa c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. We kunnen dit manipuleren om a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2} te krijgen. Dit is precies de vorm van de termen op de RHS van de vergelijkingen.

Als we dienovereenkomstig een driehoek tekenen met deze realisatie, kunnen we uit de eerste vergelijking twee rechthoekige driehoeken vormen met hoogte \ frac {1} {4}, en met hypotenusa y en z. x is gelijk aan de som van de derde lengte van elke rechthoekige driehoek. Als we de hoogte van de rechthoekige driehoeken hetzelfde lijnstuk met lengte \ frac {1} {4} laten zijn, vormen we een grotere driehoek met zijlengtes x, y, z en hoogte van \ frac {1} {4} aan de x-zijde.

Voortgaand met hetzelfde idee voor de tweede en derde vergelijking, krijgen we dat de hoogte van de driehoek aan de y- en z-zijde \ frac {1} {5} en \ frac {1} {6}, respectievelijk. Uit de oppervlaktevergelijking van een driehoek kunnen we

\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}

x = \ frac {2} {3} z \ text {en} y = \ frac {5} {6} z

Verder, uit de formule van Heron krijgen we

A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}

Vervanging in z van de andere gebiedsformules, dit vereenvoudigt tot

\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2

z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}

Dus

x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}

dus m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}