Wat is de rest als 17 ^ 200 wordt gedeeld door 18?


Beste antwoord

\ mathbf {\ text {Eerste oplossing.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ impliceert 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ impliceert 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Tweede oplossing met behulp van de stelling van Euler.}}

\ text { (17, 18) zijn relatief priem. We kunnen de stelling van Euler gebruiken.}

\ text {Eulers totient function.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ right) \ left (1 – \ dfrac {1} {3} \ right) = 18 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ impliceert (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ impliceert 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ impliceert 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ impliceert 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ impliceert 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ dus \, \, \ text {1 is de rest als} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {wordt gedeeld door 18}}

Antwoord

We willen de rest als 17 ^ {200} wordt gedeeld door 18.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad De rest wanneer 17 ^ {200} wordt gedeeld door 18 is 1.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *