Beste antwoord
Er zijn 2 antwoorden die we hier voor deze vraag kunnen vinden.
- -1/12
- Oneindigheid
Het is duidelijk dat \ som \ limieten\_ {n \ in \ mathbb {R}} n divergeert. Maar waarom antwoorden sommige mensen dan -1/12? Omdat beide correct zijn.
Dit is een van de eenvoudigste voorbeelden van een concept dat cruciaal is voor het begrijpen van natuurkundige theorieën, regularisatie. Het getal -1/12, schijnbaar absurd, heeft een fysieke interpretatie in de zogenaamde Casimir-energie.
Vaak krijgen we, wanneer we proberen fysieke grootheden in kwantumtheorieën te berekenen, oneindigheid. Op dat moment kunnen we het antwoord gewoon weggooien, maar dit zou ons nergens toe leiden. Als alternatief kunnen we proberen er iets van te begrijpen. Om dat te doen, proberen we een eindig antwoord uit de oneindigheid te halen. Dit proces wordt regularisatie genoemd. Er kunnen veel manieren zijn om een divergente reeks (of integraal) systematisch te regulariseren, maar het belangrijkste is dat al deze methoden hetzelfde eindige resultaat zouden geven. In het bijzonder zou het bovenstaande bedrag ons altijd -1/12 opleveren. Dit op zichzelf suggereert dat -1/12 niet helemaal absurd is.
De volgende discussie is voornamelijk afgeleid van Paragraaf 4.1 van Birrel en Davies – Quantum Fields in Curved Space. Ik zal de essentie van de discussie presenteren.
Stel dat we een massaloos scalair veld in 2 dimensies beschouwen (een tijdsrichting en een spatie). Een massaloos scalair veld lijkt veel op een elektromagnetisch veld, maar is veel eenvoudiger. Laten we ook het scalaire veld beperken tot een cirkel met omtrek L. Nu hebben we een kwantumsysteem gedefinieerd en kunnen we proberen verschillende grootheden te berekenen, inclusief de minimum / grondtoestandsenergie van dit systeem. De energie van de grondtoestand blijkt E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ som \ limieten\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Nu kunnen we deze integraal regulariseren en krijgen E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Het belangrijke punt is dat dit precies is wat we zullen krijgen als we proberen het verschil te berekenen tussen de energie van de grondtoestand van dit systeem en een ander soortgelijk systeem waarbij het scalaire veld beperkt is tot een lijn van oneindige lengte (die in wezen de omtrek van de cirkel om oneindig te zijn). Het is duidelijk dat deze geregulariseerde energie een fysieke grootheid is en in feite kan worden gemeten in het lab.
We concluderen dat de uitspraak \ sum \ limit\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 is niet ongeldig.
Bewerken:
Hieronder volgt een manier waarop we de som kunnen regulariseren.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
De bovenstaande limiet loopt uiteen, zoals verwacht , maar kan als volgt worden geschreven
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Dit is hoe we een geregulariseerd eindig deel uit de divergente sommatie halen. De manier om de som te regulariseren is zeker niet uniek, maar het eindige deel van de som is altijd -1/12.
Antwoord
Wat bedoelen we met is of “gelijkheid”? Dat is de vraag die ten grondslag ligt aan de verwarring over de som van alle natuurlijke getallen.
Eindige sommen
We doneren “Ik heb geen probleem met eindige sommen:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
is perfect gedefinieerd voor elke reeks van a\_i \ in \ mathbb R. Dankzij de commutativiteit en associativiteit van optellen is het zelfs niet afhankelijk van de volgorde van de a\_i: je kunt de reeks in elke willekeurige permutatie door elkaar halen zonder het resultaat te beïnvloeden.
Oneindige reeks
Als we echter bij oneindige reeksen komen, (a\_i), wat betekent de oneindige som dan eigenlijk? Wat is het?
De eenvoudigste, veiligste en standaard betekenis is een limiet van eindige sommen. Dat is de definitie van een oneindige som is
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Wanneer deze serie absoluut samenkomt is alles in orde en dandy. U kunt:
- vertrouwen op het resultaat;
- de volgorde van termen door elkaar halen;
- twee van dergelijke reeksen optellen of aftrekken; en zelfs
- verander de volgorde van twee geneste sommaties.
Maar als de reeks divergent is of alleen conditioneel convergent de waarde:
- bestaat misschien niet;
- kan afhangen van de volgorde; of
- vereist mogelijk mooie methoden om te definiëren
en je kunt geen van beide termen manipuleren de reeks noch optellen / aftrekken van twee van dergelijke reeksen.
Dat is het geval met de som van de natuurlijke getallen waarbij
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Dit divergeert duidelijk naar + \ infty als n \ to \ infty, dus de standaard standaardwaarde bestaat niet. En dat is wat de meeste mensen zouden moeten doen.
Fancy Methods
Als je dat niet volledig doet, zelfs Begrijp de precieze betekenis van al het bovenstaande, u moet zeker niet verder gaan met fancy methodes. Evenzo moet je iedereen behandelen die niet-absoluut convergente reeksen manipuleert alsof ze door nul delen: de resultaten zijn net zo betrouwbaar.
Er is een volkomen respectabele oneindige reeks genaamd de Dirichlet-serie :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Als de (a\_n) begrensd zijn, convergeert deze reeks absoluut voor elke s \ in \ mathbb C waarvan het Reële deel strikt groter is dan één, \ Re (s)> 1. Voor \ Re (s) \ leq1 staan we op minder solide grond …
Analytische voortzetting
Sinds f ( s) is een analytische functie gedefinieerd op het open halfvlak met \ Re (s)> 1 het heeft een in wezen unieke analytische voortzetting naar de rest van het complexe vlak. Het vervolg wanneer alle a\_n één zijn, f\_1 (s), is de Riemann Zeta-functie :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
waar \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x is de Gamma-functie , een analytische uitbreiding van de Factorial-functie.
For \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
For s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb convergeert niet
Als je nu iets wilt doen dat zetafunctie-regularisatie heet, zou kunnen beweren
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
maar houd er rekening mee dat je speelt met wat “gelijkheid” betekent en wat een sommatie “is”.
Dat is allemaal prima, maar als je zo ver bent gekomen, heb je gemerkt hoeveel je nodig hebt weten wat u doet. Veel meer dan je normaal in een Numberphile-video krijgt …