Beste antwoord
“De som van alle reële getallen” wordt niet gedefinieerd in conventionele wiskunde, en ik weet het niet zeker dat het zou kunnen worden gedefinieerd zonder serieuze problemen te veroorzaken.
Het eerste probleem is dat de verzameling van alle reële getallen een ontelbare set is, dat wil zeggen dat het niet in een één-op-één relatie kan worden geplaatst met het tellen getallen (dwz 1, 2, 3, 4, enz.) Er is geen conventionele definitie van de som van de leden van een ontelbare set, maar er is de som van de leden van sommige telbare sets.
Stel dat je een telbare set {x1, x2, x3,… hebt. xn,…}. U kunt een gedeeltelijke som Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn definiëren, d.w.z. de som van de eerste n termen. Om er zeker van te zijn dat er niets misgaat als u de set opnieuw rangschikt, kunt u een positieve gedeeltelijke som Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn / definiëren. Als de limiet (aangezien n naar oneindigheid gaat) van de reeks Pn bestaat, dan bestaat de limiet van de reeks Sn ook (maar is niet hetzelfde als de limiet van Pn tenzij alle xn niet-negatief zijn). Dat betekent dat je kunt zeggen dat de som van alle getallen in onze telbare set de limiet is van de reeks Sn.
Dus als de set {1/2, 1/4, 1/8 is, …, 1/2 ^ n, …}, je hebt een mooi convergente reeks en de som van de leden van de set is 1. Als je echter alle gehele getallen hebt (positieve advertentie negatief), heb je een telbare set {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3, …, n, -n, …}, maar de deelsommen komen niet samen – ze zijn 0, 1, 0, 2, 3, 0, …, n, 0, …
Dat gebrek aan convergentie van de gehele getallen doet zich voor ondanks het feit dat elk positief geheel getal n een overeenkomstig negatief geheel getal heeft, dus je zou denken dat ze opheffen. Ze annuleren echter niet bij elke alternatieve gedeeltelijke som, en ze zouden ook niet worden geannuleerd als u de set in een andere volgorde zou nemen, bijvoorbeeld. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
De echte getallen zijn slechter, omdat er geen definitie is van een som van de verzameling, aangezien het ontelbaar, en zelfs als er een was, zou het veranderen van de volgorde waarin je ze nam een ander resultaat geven, ook al is er voor elk positief reëel getal een overeenkomstig negatief reëel getal.
Antwoord
Laten we het oplossen met groepentheorie.
Laat G (\ mathbb {R}, +) een groep.
Het heeft additieve identiteit dwz 0 en additieve inverse \ forall a \ in G, is -a.
Nu alle elementen van deze groep worden toegevoegd, hebben we paren van een getal en het is invers die elkaar opheffen.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ in G ^ +} + \ sum\_ {a \ in G ^ -} + 0, we kunnen dit schrijven vanwege de commutatieve en associatieve eigenschap van deze speciale groep.
We hebben de set \ mathbb {R} verdeeld in \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} en identiteitselement.
Laten we de bovenstaande uitdrukking schrijven als
= X + Y + 0
Als 0 is dus identiteit,
bovenstaande uitdrukking geeft
= X + Y
Nu, \ forall a \ in X, a ^ {- 1} \ in Y
\ impliceert X = Y ^ {- 1}
\ impliceert Y = -X
\ impliceert X + Y = identiteitselement van G = 0.
Daarom is de som van alle reële getallen nul.